1. **Stelling.** Gegeven een willekeurige driehoek ABC met hoogtepunt H. Te bewijzen: voor elk hoekpunt geldt $AH = a \cot A$, $BH = b \cot B$, $CH = c \cot C$. 2. **Notatie en belangrijkste formules.** We zetten $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$ en laat $R$ de straal van de omgeschreven cirkel zijn. De wet van de sinussen geeft de bekende formule $$a=2R\sin A,\quad b=2R\sin B,\quad c=2R\sin C$$ 3. **Afleiding van $AH=2R\cos A$ met vectoren.** Laat O het middelpunt van de omgeschreven cirkel zijn en kies O als oorsprong. De positievectoren van A, B, C noemen we $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ zodat $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=|\mathbf{c}|=R$. Een bekend resultaat is dat de positievector van het hoogtepunt $\mathbf{h}=\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}$. Daarom is $\mathbf{AH}=\mathbf{h}-\mathbf{a}=\mathbf{b}+\mathbf{c}$. Dan geldt $$|\mathbf{AH}|^2=(\mathbf{b}+\mathbf{c})\cdot(\mathbf{b}+\mathbf{c})=|\mathbf{b}|^2+|\mathbf{c}|^2+2\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}$$ De hoek tussen $\mathbf{b}$ en $\mathbf{c}$ is de centrale hoek $\angle BOC=2A$, dus $\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}=R^2\cos 2A$. Hieruit volgt $$|\mathbf{AH}|^2=2R^2+2R^2\cos 2A=4R^2\cos^2 A$$ Omdat AH een lengte is krijgen we $$AH=2R\cos A$$ 4. **Concluderen naar $AH=a\cot A$.** Combineer de twee formules. Schrijf $$AH=2R\cos A=2R\sin A\cdot\cot A=a\cot A$$ Dit levert precies de gevraagde relatie. 5. **Opmerking.** Analoge afleidingen geven $BH=b\cot B$ en $CH=c\cot C$.