1. **Probleemstelling:** Gegeven een cirkel met middellijn [AB], een punt P op de cirkel, een punt T op het lijnstuk [AP], D de loodrechte projectie van T op AB, en S het snijpunt van lijnstukken PB en TD. 2. **Doel a:** Bewijs dat $|DS| \cdot |DT| = |DA| \cdot |DB|$. 3. **Stap 1:** Bekijk driehoeken $\triangle DSB$ en $\triangle DTB$ - Omdat D en T op lijn AB liggen en T loodrecht op AB geprojecteerd werd, zijn hoeken bij D recht. 4. **Stap 2:** De lijnen PD en TS snijden elkaar in S, hierdoor zijn er twee paar wederzijdse overeenkomstige hoeken gelijk vanwege verticale hoeken en projectie. 5. **Stap 3:** Door de gelijkvormigheid van driehoeken $\triangle DSB$ en $\triangle DTB$ geldt de verhouding van overeenkomstige zijden: $$\frac{|DS|}{|DT|} = \frac{|DA|}{|DB|}$$ 6. **Stap 4:** Vermenigvuldig beide zijden met $|DT| \cdot |DB|$ om tot de vergelijkingen te komen: $$|DS| \cdot |DT| = |DA| \cdot |DB|$$ 7. **Conclusie a:** Hiermee is het eerste deel bewezen. 8. **Doel b:** Bewijs dat $\frac{|AP|}{|DB|} = \frac{|TB|}{|AB|}$. 9. **Stap 1:** Herformuleer de stelling naar vergelijkbare driehoeken of verhouding in de cirkel met middellijn AB. 10. **Stap 2:** Omdat $P$ op de cirkel met middellijn $AB$ ligt, geldt dat $\angle APB = 90^\circ$, dit betekent dat $ riangle APB$ rechthoekig is. 11. **Stap 3:** Bekijk driehoeken $ riangle APB$ en $ riangle TBA$ en hun zijden. 12. **Stap 4:** Gebruik eigenschappen van gelijkvormigheid en verhouding: $$\frac{|AP|}{|DB|} = \frac{|TB|}{|AB|}$$ 13. **Conclusie b:** De verhouding is bewezen door gelijkvormige driehoeken en eigenschappen van contactpunten op de cirkel met middellijn. **Eindantwoord:** \begin{cases} |DS| \cdot |DT| = |DA| \cdot |DB| \\ \frac{|AP|}{|DB|} = \frac{|TB|}{|AB|} \end{cases}