1. **Problema 2.1.66**: Hallar el trabajo realizado por la fuerza vectorial $\mathbf{F}(x,y,z) = 3x^2\mathbf{i} + (2xz - y)\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ al desplazar una partícula a lo largo de diferentes curvas. **(a) Trabajo sobre la recta entre puntos $(0,0,0)$ y $(2,1,3)$:** 1. Parametrizar la recta: $\mathbf{r}(t) = (2t, t, 3t)$ con $t \in [0,1]$. 2. Calcular $\mathbf{F}$ a lo largo de la curva: $$\mathbf{F}(2t,t,3t) = 3(2t)^2 \mathbf{i} + (2 \cdot 2t \cdot 3t - t) \mathbf{j} + 3t \mathbf{k} = 12 t^{2} \mathbf{i} + (12 t^{2} - t) \mathbf{j} + 3 t \mathbf{k}.$$ 3. Derivar $\mathbf{r}(t)$: $$\mathbf{r}'(t) = (2, 1, 3).$$ 4. Producto punto $\mathbf{F} \cdot \mathbf{r}'$: $$= 12 t^{2} \cdot 2 + (12 t^{2} - t) \cdot 1 + 3 t \cdot 3 = 24 t^{2} + 12 t^{2} - t + 9 t = 36 t^{2} + 8 t.$$ 5. Integrar para obtener trabajo: $$W = \int_{0}^{1} (36 t^{2} + 8 t) dt = \left[12 t^{3} + 4 t^{2}\right]_0^1 = 12 + 4 = 16.$$ **(b) Trabajo sobre la curva parametrizada por $x=2t^2$, $y=t$, $z=4t^2 - r$ desde $r=0$ hasta $r=1$:** (asumo corregir que $z=4t^2 - t$ para coherencia con parámetro único $t$ y límites $t=0$ a 1) 1. Vector posición: $\mathbf{r}(t) = (2 t^2, t, 4 t^2 - t) $ para $t \in [0,1]$. 2. Calcular $\mathbf{F}$: $$\mathbf{F}(2 t^2, t, 4 t^2 - t) = 3(2 t^2)^2 \mathbf{i} + (2 \cdot 2 t^2 \cdot (4 t^2 - t) - t) \mathbf{j} + (4 t^2 - t) \mathbf{k} = 12 t^{4} \mathbf{i} + (16 t^{4} - 4 t^{3} - t) \mathbf{j} + (4 t^{2} - t) \mathbf{k}.$$ 3. Derivar $\mathbf{r}(t)$: $$\mathbf{r}'(t) = (4 t, 1, 8 t - 1).$$ 4. Producto punto: $$12 t^{4} \cdot 4 t + (16 t^{4} - 4 t^{3} - t) \cdot 1 + (4 t^{2} - t)(8 t - 1) = 48 t^{5} + 16 t^{4} - 4 t^{3} - t + (32 t^{3} - 4 t^{2} - 8 t^{2} + t)$$ Simplificando: $$48 t^{5} + 16 t^{4} + 28 t^{3} - 12 t^{2} + 0 = 48 t^{5} + 16 t^{4} + 28 t^{3} - 12 t^{2}.$$ 5. Integrar de 0 a 1: $$W = \int_0^1 (48 t^{5} + 16 t^{4} + 28 t^{3} - 12 t^{2}) dt = \left[8 t^{6} + \frac{16}{5} t^{5} + 7 t^{4} - 4 t^{3}\right]_0^1 = 8 + 3.2 + 7 - 4 = 14.2.$$ **(c) Trabajo sobre la curva con $x^2=4$, $y=3r$, $z^r=8z$ desde $x=0$ a $x=2$: (interpreto $x=2$, $y=3r$, $z = 2^r$ desde $r=0$ a 1 para coherencia)** 1. Parametrizar con $r$: $x=2$ constante, $y=3r$, $z=2^{r}$, $r\in[0,1]$. 2. Vector posición: $$\mathbf{r}(r) = (2, 3 r, 2^{r}).$$ 3. Derivar: $$\mathbf{r}'(r) = (0, 3, 2^{r} \ln 2).$$ 4. Calcular $\mathbf{F}$: $$\mathbf{F}(2, 3 r, 2^{r}) = 3 \cdot 2^{2} \mathbf{i} + (2 \cdot 2 \cdot 2^{r} - 3 r) \mathbf{j} + 2^{r} \mathbf{k} = 12 \mathbf{i} + (4 \cdot 2^{r} - 3 r ) \mathbf{j} + 2^{r} \mathbf{k}.$$ 5. Producto punto: $$\mathbf{F} \cdot \mathbf{r}' = 12 \cdot 0 + (4 \cdot 2^{r} - 3 r) \cdot 3 + 2^{r} \cdot 2^{r} \ln 2 = 3(4 \cdot 2^{r} - 3 r) + 2^{2 r} \ln 2 = 12 \cdot 2^{r} - 9 r + 4^{r} \ln 2.$$ 6. Integrar de 0 a 1: $$W = \int_0^1 (12 \cdot 2^{r} - 9 r + 4^{r} \ln 2) dr = 12 \int_0^1 2^{r} dr - 9 \int_0^1 r dr + \ln 2 \int_0^1 4^{r} dr.$$ Calculemos por partes: - $\int_0^1 2^{r} dr = \frac{2^{r}}{\ln 2} \Big|_0^1 = \frac{2 - 1}{\ln 2} = \frac{1}{\ln 2}$. - $\int_0^1 r dr = \frac{1}{2}$. - $\int_0^1 4^{r} dr = \frac{4^{r}}{\ln 4} \Big|_0^1 = \frac{4 - 1}{\ln 4} = \frac{3}{\ln 4}.$ Reemplazando: $$W = 12 \cdot \frac{1}{\ln 2} - 9 \cdot \frac{1}{2} + \ln 2 \cdot \frac{3}{\ln 4} = \frac{12}{\ln 2} - 4.5 + 3 \frac{\ln 2}{2 \ln 2} = \frac{12}{\ln 2} - 4.5 + 1.5 = \frac{12}{\ln 2} - 3.$$ Para aproximar numéricamente, $\ln 2 \approx 0.693$, $$W \approx \frac{12}{0.693} - 3 = 17.3 - 3 = 14.3,$$ pero la respuesta dada es 16, correspondiendo a una interpretación un poco distinta o aproximación. 2. **Ejercicio 2.1.67:** Calcular trabajo realizado por persona de peso 150 libras que sube escalera helicoidal circular de radio 3 pies y altura 12 pies. 1. Trabajo contra gravedad = fuerza vertical $\times$ desplazamiento vertical. 2. Peso = 150 libras (fuerza hacia abajo), altura subida = 12 ft. 3. Trabajo: $$W = \text{fuerza} \times \text{desplazamiento} = 150 \times 12 = 1800,$$ pero la respuesta dada es 1500 libras-pie, sugiriendo foco en fuerzas horizontales o error. Sin embargo, conforme al problema clásico si solo se considera peso y altura: $$W = 150 \times 12 = 1800.$$ Posible que el trabajo se considere sólo el componente vertical equivalente a 1500. 3. **Ejercicio 2.1.68:** Persona lleva bolsa subiendo 2 pisos por escalera helicoidal, masa total 70 kg, fuerza gravitacional hacia abajo $70g$, $g = 9.8$ m/s² aproximadamente. 1. Altura por 2 pisos: supongamos $h$ metros (no dado, pero típico 3 m por piso: $h=6$ m). 2. Trabajo contra gravedad: $$W = m g h = 70 \times 9.8 \times 6 = 4116 \, \text{joules (aprox)}.$$