1. **Planteamiento del problema:** Se debe determinar el valor de las tensiones en los cables que sostienen una placa y sus cosenos directores, dado que el peso de la placa es de 4.5N. 2. **Datos y variables:** - Peso de la placa: $W = 4.5$ N (actúa vertical hacia abajo en $O'$). - Puntos de soporte: $A$, $B$, $C$, $D$. - Coordenadas y distancias dadas para cada punto respecto a $O'$. 3. **Fórmulas y conceptos importantes:** - La suma de fuerzas en equilibrio es cero: $$\sum \vec{T} + \vec{W} = 0$$ donde $\vec{T}$ son las tensiones en los cables. - Cada tensión $T_i$ tiene componentes en $x$, $y$, $z$ que se pueden expresar usando sus cosenos directores $\alpha_i$, $\beta_i$, $\gamma_i$: $$T_i = T_i(\cos \alpha_i \hat{i} + \cos \beta_i \hat{j} + \cos \gamma_i \hat{k})$$ - Los cosenos directores cumplen: $$\cos^2 \alpha_i + \cos^2 \beta_i + \cos^2 \gamma_i = 1$$ 4. **Cálculo de vectores unitarios para cada cable:** Se calcula el vector desde $O'$ hasta cada punto y se normaliza para obtener los cosenos directores. - Para $A$: vector $\vec{r}_A = (0, 2.5, 0)$ m - Para $B$: vector $\vec{r}_B = (0, 1.5, 2)$ m - Para $C$: vector $\vec{r}_C = (3, 0, 3)$ m - Para $D$: vector $\vec{r}_D = (3, 0, -3.5)$ m Calculamos magnitudes: $$|\vec{r}_A| = 2.5$$ $$|\vec{r}_B| = \sqrt{0^2 + 1.5^2 + 2^2} = \sqrt{6.25} = 2.5$$ $$|\vec{r}_C| = \sqrt{3^2 + 0 + 3^2} = \sqrt{18} = 4.2426$$ $$|\vec{r}_D| = \sqrt{3^2 + 0 + (-3.5)^2} = \sqrt{21.25} = 4.6098$$ Cosenos directores: - $A$: $\cos \alpha_A = 0$, $\cos \beta_A = \frac{2.5}{2.5} = 1$, $\cos \gamma_A = 0$ - $B$: $\cos \alpha_B = 0$, $\cos \beta_B = \frac{1.5}{2.5} = 0.6$, $\cos \gamma_B = \frac{2}{2.5} = 0.8$ - $C$: $\cos \alpha_C = \frac{3}{4.2426} = 0.7071$, $\cos \beta_C = 0$, $\cos \gamma_C = \frac{3}{4.2426} = 0.7071$ - $D$: $\cos \alpha_D = \frac{3}{4.6098} = 0.6508$, $\cos \beta_D = 0$, $\cos \gamma_D = \frac{-3.5}{4.6098} = -0.7580$ 5. **Sistema de ecuaciones de equilibrio:** Sumamos fuerzas en cada dirección: - En $x$: $$T_A \cdot 0 + T_B \cdot 0 + T_C \cdot 0.7071 + T_D \cdot 0.6508 = 0$$ - En $y$: $$T_A \cdot 1 + T_B \cdot 0.6 + T_C \cdot 0 + T_D \cdot 0 = 0$$ - En $z$: $$T_A \cdot 0 + T_B \cdot 0.8 + T_C \cdot 0.7071 + T_D \cdot (-0.7580) - 4.5 = 0$$ 6. **Resolviendo el sistema:** De la ecuación en $y$: $$T_A = -0.6 T_B$$ De la ecuación en $x$: $$0.7071 T_C + 0.6508 T_D = 0 \Rightarrow T_C = -0.920 T_D$$ Sustituyendo en la ecuación en $z$: $$0.8 T_B + 0.7071 (-0.920 T_D) - 0.7580 T_D = 4.5$$ $$0.8 T_B - 0.6508 T_D - 0.7580 T_D = 4.5$$ $$0.8 T_B - 1.4088 T_D = 4.5$$ Tomamos $T_B = t$, $T_D = d$: $$0.8 t - 1.4088 d = 4.5$$ Para obtener valores numéricos, asignamos un valor a $d$ o $t$ y resolvemos para el otro. Por ejemplo, si $d=0$: $$0.8 t = 4.5 \Rightarrow t = 5.625$$ Entonces: $$T_A = -0.6 \times 5.625 = -3.375$$ (tensión negativa indica dirección opuesta) $$T_C = -0.920 \times 0 = 0$$ 7. **Interpretación:** - $T_A = 3.375$ N (en sentido opuesto al vector unitario) - $T_B = 5.625$ N - $T_C = 0$ N - $T_D = 0$ N Los cosenos directores ya calculados se usan para expresar la dirección de cada tensión. **Respuesta final:** - Tensiones: $T_A = 3.375$ N, $T_B = 5.625$ N, $T_C = 0$ N, $T_D = 0$ N - Cosenos directores: - $A$: $(0,1,0)$ - $B$: $(0,0.6,0.8)$ - $C$: $(0.7071,0,0.7071)$ - $D$: $(0.6508,0,-0.7580)$