1. **Problemstellung:** Bestimme die Funktionsgleichungen der gegebenen Graphen. 2. **Wichtige Formeln und Regeln:** - Die allgemeine Form einer Sinusfunktion ist $$y = A \sin(Bx + C) + D$$, wobei: - $$A$$ die Amplitude (Höhe der Wellenberge) ist, - $$\frac{2\pi}{B}$$ die Periode (Länge eines vollständigen Zyklus) ist, - $$C$$ die Phasenverschiebung (horizontaler Versatz) ist, - $$D$$ die vertikale Verschiebung ist. 3. **Graph a):** - Die Amplitude ist 1 (da die Wellen von -1 bis 1 gehen). - Die Periode ist $$2\pi$$ (Standardperiode der Sinusfunktion). - Die Funktion hat keine Verschiebung oder vertikale Verschiebung. - Somit ist die Funktionsgleichung $$y = \sin(x)$$. 4. **Graph b):** - Die Amplitude ist 2 (da die Wellen von -2 bis 2 gehen). - Die Periode ist $$\pi$$, also halb so lang wie die Standardperiode. - Daraus folgt $$B$$ aus $$\frac{2\pi}{B} = \pi \Rightarrow B = 2$$. - Keine Verschiebung oder vertikale Verschiebung. - Die Funktionsgleichung lautet $$y = 2 \sin(2x)$$. --- 5. **Zweite Aufgabe:** Bestimme Amplitude, Periode, zeichne den Graphen und bestimme die Nullstellen für die Funktionen: **a) $$f(x) = 3 \sin(x)$$** - Amplitude: $$3$$ - Periode: $$2\pi$$ (Standard) - Nullstellen: $$x = k\pi$$ für alle ganzen Zahlen $$k$$, da $$\sin(x) = 0$$ bei $$x = k\pi$$. **b) $$f(x) = \sin\left(\frac{1}{6}x\right)$$** - Amplitude: $$1$$ - Periode: $$\frac{2\pi}{\frac{1}{6}} = 12\pi$$ - Nullstellen: $$x = 6k\pi$$ für alle ganzen Zahlen $$k$$. **c) $$f(x) = \sin(x - \pi)$$** - Amplitude: $$1$$ - Periode: $$2\pi$$ - Phasenverschiebung: $$\pi$$ nach rechts - Nullstellen: $$x - \pi = k\pi \Rightarrow x = (k+1)\pi$$ für alle ganzen Zahlen $$k$$. **d) $$f(x) = -\frac{1}{2} \sin(x) + 1.5$$** - Amplitude: $$\frac{1}{2}$$ (negativ bedeutet Spiegelung an der x-Achse) - Periode: $$2\pi$$ - Vertikale Verschiebung: $$1.5$$ nach oben - Nullstellen: Löse $$-\frac{1}{2} \sin(x) + 1.5 = 0 \Rightarrow \sin(x) = 3$$, was unmöglich ist, also keine Nullstellen. --- **Zusammenfassung:** - a) $$y = \sin(x)$$ - b) $$y = 2 \sin(2x)$$ - 2.a) Amplitude 3, Periode $$2\pi$$, Nullstellen bei $$x = k\pi$$ - 2.b) Amplitude 1, Periode $$12\pi$$, Nullstellen bei $$x = 6k\pi$$ - 2.c) Amplitude 1, Periode $$2\pi$$, Nullstellen bei $$x = (k+1)\pi$$ - 2.d) Amplitude 0.5, Periode $$2\pi$$, keine Nullstellen