1. **Problem:** Fülle die Lücken in der Tabelle mit Potenzen und Potenzwerten. - a) 3·3·3·3 = 3^4 = 81 (gegeben) - b) Potenz: 11^2, Potenzwert: 121 - c) 2·2·2·2·2 = 2^5, Potenzwert: 32 - d) Potenzwert: 400, Potenz: 20^2 (weil 20·20=400) - e) Potenz: 6^3, Potenzwert: 216 - f) Potenz: 4^2, Potenzwert: 64 (gegeben) 2. **Problem:** Ordne die Potenzen nach Größe (kleinster Wert zuerst). Berechne Potenzwerte: - 4^4 = 256 - 10^2 = 100 - 3^5 = 243 - 2^3 = 8 - 2^1 = 2 - 2^6 = 64 - 1^7 = 1 - 3^2 = 9 - 5^3 = 125 - 3^3 = 27 Sortiert: 1^7=1 < 2^1=2 < 2^3=8 < 3^2=9 < 3^3=27 < 2^6=64 < 10^2=100 < 5^3=125 < 3^5=243 < 4^4=256 3. **Problem:** Kleinster Exponent x für Ungleichungen: Formel: Für $a^x > b$ gilt $x > \frac{\log b}{\log a}$, für $a^x < b$ gilt $x < \frac{\log b}{\log a}$. Berechnungen (logarithmisch): a) $2^x > 1000 \Rightarrow x > \frac{\log 1000}{\log 2} = \frac{3}{0.3010} \approx 9.97$ also $x=10$ b) $1.5^x > 500 \Rightarrow x > \frac{\log 500}{\log 1.5} \approx \frac{2.699}{0.1761} \approx 15.32$ also $x=16$ c) $1.1^x > 100 \Rightarrow x > \frac{\log 100}{\log 1.1} \approx \frac{2}{0.0414} \approx 48.31$ also $x=49$ d) $2.3^x > 65 \Rightarrow x > \frac{\log 65}{\log 2.3} \approx \frac{1.813}{0.3617} \approx 5.01$ also $x=6$ e) $0.5^x < 0.001 \Rightarrow x > \frac{\log 0.001}{\log 0.5} = \frac{-3}{-0.3010} = 9.97$ also $x=10$ f) $0.1^x < 0.01 \Rightarrow x > \frac{\log 0.01}{\log 0.1} = \frac{-2}{-1} = 2$ also $x=3$ (da $0.1^2=0.01$ nicht kleiner) 4. **Problem:** Seitenlänge des Quadrats aus Flächeninhalt $A$: Formel: $s = \sqrt{A}$ a) $\sqrt{49} = 7$ cm b) $\sqrt{100} = 10$ cm c) $\sqrt{121} = 11$ cm d) $\sqrt{2.25} = 1.5$ cm e) $\sqrt{4.00} = 2$ cm f) $\sqrt{0.16} = 0.4$ cm 5. **Problem:** Quadratwurzeln bestimmen: a) $\sqrt{4} = 2$ b) $\sqrt{25} = 5$ c) $\sqrt{81} = 9$ d) $\sqrt{144} = 12$ e) $\sqrt{400} = 20$ f) $\sqrt{2500} = 50$ g) $\sqrt{8100} = 90$ h) $\sqrt{14400} = 120$ i) $\sqrt{0.04} = 0.2$ j) $\sqrt{0.25} = 0.5$ k) $\sqrt{0.81} = 0.9$ l) $\sqrt{1.44} = 1.2$ 6. **Problem:** Größtes quadratisches Muster aus 450 Steinen. Formel: Seitenlänge $s = \lfloor \sqrt{450} \rfloor = 21$ Anzahl Steine im Muster: $21^2 = 441$ Übrig: $450 - 441 = 9$ 7. **Problem:** Zwischen welchen ganzen Zahlen liegt $\sqrt{n}$? Beispiel: $\sqrt{10}$ liegt zwischen 3 und 4. a) $\sqrt{20}$ zwischen 4 und 5 (da $4^2=16 < 20 < 25=5^2$) b) $\sqrt{30}$ zwischen 5 und 6 c) $\sqrt{40}$ zwischen 6 und 7 d) $\sqrt{110}$ zwischen 10 und 11 e) $\sqrt{120}$ zwischen 10 und 11 f) $\sqrt{130}$ zwischen 11 und 12 8. **Problem:** Zahlen für Platzhalter einsetzen (z.B. $7.8$, $6.7$, ...) Beispiel: a) $7.7 < \sqrt{60} < 7.8$ b) $6.7 < \sqrt{50} < 7$ c) $7.8 < \sqrt{65} < 8.1$ d) $6.7 < \sqrt{45} < 7.1$ 9. **Problem:** Zahlbereiche zuordnen (IN=natürliche Zahlen, Z=ganze Zahlen, Q=rationale Zahlen, IR=irrationale Zahlen) - a) $\sqrt{3}$ ist irrational (IR) - b) $0.6666... = \frac{2}{3}$ rational (Q) - c) $\sqrt{49} = 7$ natürliche Zahl (IN) - d) $-5$ ganze Zahl (Z) - e) $4$ natürliche Zahl (IN) 10. **Problem:** Berechne ohne Taschenrechner: a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$ b) $\sqrt{27} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{81} = 9$ c) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{200} = \sqrt{400} = 20$ d) $\sqrt{18} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{36} = 6$ e) $\sqrt{50} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{100} = 10$ f) $\sqrt{48} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{144} = 12$ 11. **Problem:** Berechne ohne Taschenrechner: a) $\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{4}} = \sqrt{\frac{64}{4}} = \sqrt{16} = 4$ b) $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5$ c) $\frac{\sqrt{250}}{\sqrt{10}} = \sqrt{\frac{250}{10}} = \sqrt{25} = 5$ d) $\frac{\sqrt{120}}{\sqrt{30}} = \sqrt{\frac{120}{30}} = \sqrt{4} = 2$ e) $\frac{\sqrt{300}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{300}{3}} = \sqrt{100} = 10$ f) $\frac{\sqrt{363}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{363}{3}} = \sqrt{121} = 11$ 12. **Problem:** Ziehe Wurzel teilweise: a) $\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$ b) $\sqrt{175} = \sqrt{25 \cdot 7} = 5\sqrt{7}$ c) $\sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = 3\sqrt{7}$ d) $\sqrt{99} = \sqrt{9 \cdot 11} = 3\sqrt{11}$ e) $\sqrt{88} = \sqrt{4 \cdot 22} = 2\sqrt{22}$ f) $\sqrt{363} = \sqrt{121 \cdot 3} = 11\sqrt{3}$ 13. **Problem:** Kubikwurzeln bestimmen: a) $\sqrt[3]{27} = 3$ b) $\sqrt[3]{125} = 5$ c) $\sqrt[3]{1331} = 11$ 14. **Problem:** Würfelkantenlänge $a$ aus Volumen $V$: Formel: $a = \sqrt[3]{V}$ a) $V=27 \Rightarrow a = \sqrt[3]{27} = 3$ cm b) $V=91.125 \Rightarrow a = \sqrt[3]{91.125} = 4.5$ cm **Ende der Lösungen.**