1. **Problemstellung:** Wir sollen den Rechenweg für Beispiel a) nachvollziehen, bei dem die Funktion gegeben ist: $$x \mapsto \frac{1}{\sqrt{8 \pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2} \left( \frac{x+1}{2} \right)^2}$$ und diese mit der Normalverteilungsfunktion $$\phi_{\mu;\sigma}(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \cdot e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}$$ verglichen werden soll, um $\mu$ und $\sigma$ zu bestimmen. 2. **Formel und wichtige Regeln:** Die Normalverteilungsfunktion hat die Form $$\phi_{\mu;\sigma}(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}$$ wobei $\mu$ der Mittelwert (Mittelpunkt der Glockenkurve) und $\sigma$ die Standardabweichung (Breite der Kurve) ist. 3. **Vergleich der Exponenten:** Gegeben ist der Exponent $$-\frac{1}{2} \left( \frac{x+1}{2} \right)^2 = -\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}$$ Wir schreiben den Term im Exponenten um: $$-\frac{1}{2} \left( \frac{x+1}{2} \right)^2 = -\frac{1}{2} \cdot \frac{(x+1)^2}{4} = -\frac{(x+1)^2}{8}$$ Vergleichen wir mit $$-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}$$ so sehen wir, dass $$\frac{(x+1)^2}{8} = \frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}$$ 4. **Bestimmung von $\mu$:** Da die Quadrate gleich sind, muss gelten: $$x+1 = x - \mu \implies \mu = -1$$ 5. **Bestimmung von $\sigma$:** Aus dem Vergleich der Nenner folgt: $$\frac{1}{8} = \frac{1}{2 \sigma^2} \implies 2 \sigma^2 = 8 \implies \sigma^2 = 4 \implies \sigma = 2$$ 6. **Vergleich der Koeffizienten vor dem Exponential:** Gegeben ist $$\frac{1}{\sqrt{8 \pi}}$$ und laut Normalverteilung $$\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}$$ Setzen wir $\sigma = 2$ ein: $$\frac{1}{2 \sqrt{2 \pi}} = \frac{1}{\sqrt{8 \pi}}$$ was bestätigt, dass $\sigma = 2$ korrekt ist. **Endergebnis:** $$\mu = -1, \quad \sigma = 2$$