1. **Uppgáva 8: Projektion av vektori** Vi eru givin vektorar $$\mathbf{a} = \begin{pmatrix}30\\-10\end{pmatrix}$$ og $$\mathbf{b} = \begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}$$. 1. Finn kryssprodukt (krosstølini) fyri projektionina av $$\mathbf{a}$$ á $$\mathbf{b}$$. 2. Projektionin av $$\mathbf{a}$$ á $$\mathbf{b}$$ verður funnin sum $$\mathrm{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \left( \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}} \right) \mathbf{b}$$ 3. Finn fyrst dot-produktin: $$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 30 \times 4 + (-10) \times 3 = 120 - 30 = 90$$ 4. Finn $$\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}$$: $$4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$$ 5. Set inn í formulin: $$\mathrm{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \left( \frac{90}{25} \right) \begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix} = 3.6 \times \begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}14.4\\10.8\end{pmatrix}$$ --- 2. **Uppgáva 9: Tríkantur ABC** Givið eru $$\angle A = 20^\circ,$$ sides $$|AB|=12,$$ og $$|BC|=8,$$ og $$\angle C$$ er rætt (90°). 1. Finn longdina á síðuni $$AC$$ við Pythagoras: $$|AC| = \sqrt{|AB|^2 + |BC|^2} = \sqrt{12^2 + 8^2} = \sqrt{144 + 64} = \sqrt{208} = 14.42$$ (umtrent) 2. Finn høgdin frá B (hin vertikale linjuna frá B til AC). Høgdini $$h_B$$ í rættvísum tríkanti er $$h_B = \frac{|AB| \times |BC|}{|AC|} = \frac{12 \times 8}{14.42} = \frac{96}{14.42} = 6.66$$ (umtrent) --- 3. **Uppgáva 10: Trigonometrisk funktión** Funktiónin er $$f(x) = 3 \cdot \sin(0.25 \cdot x) + 7$$. 1. Stórstavirði (staðbundið hægsta): $$7 + 3 = 10$$ 2. Minstavirði (staðbundið lægsta): $$7 - 3 = 4$$ 3. Periodan er $$T = \frac{2\pi}{0.25} = 8\pi \approx 25.13$$ --- 4. **Uppgáva 11: Kúgvin og mjólkin** Funktiónin er $$m(t) = 15.3 \cdot t^{0.22} \cdot e^{-0.003t}, \quad 5 < t < 300$$ 1. Tekna rásina eftir $$t$$ og finna t fyri maksimal mjólkproduction, krevur diffrentiering: $$m'(t) = 15.3 \cdot \left( 0.22 t^{-0.78} e^{-0.003t} - 0.003 t^{0.22} e^{-0.003t} \right) = 15.3 e^{-0.003t} t^{-0.78} (0.22 - 0.003 t)$$ 2. Set $$m'(t)=0$$ fyri at finna ekstreme t: $$0.22 - 0.003 t = 0 \Rightarrow t = \frac{0.22}{0.003} = 73.33$$ dagar Kúgvin mjólkar mest eftir 73.33 dagar. 3. Finn $$m'(30)$$ fyri voksturtakt á $$t=30$$ dagar: $$m'(30) = 15.3 e^{-0.003 \times 30} 30^{-0.78} (0.22 - 0.003 \times 30)$$ Bera hetta urð og tolk: Ein positivur/verðandi $$m'(30)$$ sigur, at mjólkin vaksur enn tá. --- 5. **Uppgáva 12: Kurvalongdin av funktiónini** Funktiónin er $$f(x) = 0.2 x^2 - 2.25 x + 7.5, \quad 0 \leq x \leq 7.6$$ 1. Deriver funksjónina: $$f'(x) = 0.4 x - 2.25$$ 2. Kurvalongdin er $$L = \int_0^{7.6} \sqrt{1 + (0.4 x - 2.25)^2} dx$$ Við at nýt integratiónsteknikkir ella numeriska integratión, kann longdin av einari lamellu finnast. --- Svar: Uppgávur 8 til 12 eru loyst.