1. Знайти область визначення функцій: 1.a) Функція: $$y = \sqrt{\frac{3 - x}{4x^2 - 9x - 13}}$$ - Підкореневий вираз повинен бути невід'ємним: $$\frac{3 - x}{4x^2 - 9x - 13} \geq 0$$ - Знайдемо нулі чисельника: $$3 - x = 0 \Rightarrow x = 3$$ - Знайдемо нулі знаменника: $$4x^2 - 9x - 13 = 0$$ Використаємо формулу квадратного рівняння: $$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 208}}{8} = \frac{9 \pm \sqrt{289}}{8} = \frac{9 \pm 17}{8}$$ Отже, корені: $$x_1 = \frac{9 - 17}{8} = -1$$, $$x_2 = \frac{9 + 17}{8} = 3.25$$ - Знаменник не може дорівнювати нулю, тому $$x \neq -1, 3.25$$ - Аналіз знаків дробу на проміжках: - Для $$x < -1$$: чисельник $$3 - x > 0$$, знаменник $$4x^2 - 9x - 13 > 0$$ (перевірка знаку) - Для $$-1 < x < 3$$: чисельник $$3 - x > 0$$, знаменник $$< 0$$ - Для $$3 < x < 3.25$$: чисельник $$3 - x < 0$$, знаменник $$< 0$$ - Для $$x > 3.25$$: чисельник $$3 - x < 0$$, знаменник $$> 0$$ - Дроб $$\geq 0$$ на проміжках $$(-\infty, -1)$$ та $$(3, 3.25)$$ - Враховуючи підкореневу умову, область визначення: $$D_y = (-\infty, -1) \cup (3, 3.25)$$ 1.б) Функція: $$y = \sqrt{\log_{0.5} \frac{5x - 2}{x + 2}} + 3$$ - Підкореневий вираз повинен бути невід'ємним: $$\log_{0.5} \frac{5x - 2}{x + 2} \geq 0$$ - Властивість логарифма з основою $$0.5 < 1$$: $$\log_{0.5} a \geq 0 \iff 0 < a \leq 1$$ - Отже: $$0 < \frac{5x - 2}{x + 2} \leq 1$$ - Розглянемо дві нерівності: 1) $$\frac{5x - 2}{x + 2} > 0$$ 2) $$\frac{5x - 2}{x + 2} \leq 1$$ - Для 1): чисельник і знаменник мають однакові знаки: - $$5x - 2 > 0 \Rightarrow x > \frac{2}{5}$$ - $$x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2$$ Отже, $$x > \frac{2}{5}$$ або обидва від'ємні: - $$5x - 2 < 0 \Rightarrow x < \frac{2}{5}$$ - $$x + 2 < 0 \Rightarrow x < -2$$ Перетин цих умов дає $$x < -2$$ або $$x > \frac{2}{5}$$ - Для 2): $$\frac{5x - 2}{x + 2} \leq 1 \Rightarrow \frac{5x - 2}{x + 2} - 1 \leq 0$$ $$\frac{5x - 2 - (x + 2)}{x + 2} \leq 0 \Rightarrow \frac{4x - 4}{x + 2} \leq 0$$ $$\frac{4(x - 1)}{x + 2} \leq 0$$ - Знайдемо знаки: - Нулі: $$x = 1$$, $$x = -2$$ (знаменник не може дорівнювати 0) - Аналіз знаків: - $$x < -2$$: знаменник < 0, чисельник < 0, дроб > 0 - $$-2 < x < 1$$: знаменник > 0, чисельник < 0, дроб < 0 - $$x > 1$$: знаменник > 0, чисельник > 0, дроб > 0 - Отже, нерівність виконується на $$(-2, 1]$$ - Перетин з умовою 1): $$x < -2$$ або $$x > \frac{2}{5}$$ - Перетин дає $$x \in (\frac{2}{5}, 1]$$ - Область визначення: $$D_y = \left(\frac{2}{5}, 1\right]$$ 2. Знайти границі функцій: 2.a) $$\lim_{x \to \infty} \frac{8x^3 + 5x^2 - 4}{3x^4 + 6x + 11}$$ - Степінь знаменника більший за чисельник, отже границя: $$= 0$$ 2.б) $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt[3]{6x^2 + 3} - \sqrt[5]{x^3 - 4x + 5}}{\sqrt[4]{3x^2 + 5x - 4} - \sqrt[4]{3x^2 - x -1}}$$ - Домінуючі члени: $$\sqrt[3]{6x^2} = (6)^{1/3} x^{2/3}$$ $$\sqrt[5]{x^3} = x^{3/5}$$ $$\sqrt[4]{3x^2} = (3)^{1/4} x^{1/2}$$ - Порівняємо степені: $$x^{2/3} \approx x^{0.666}, x^{3/5} = x^{0.6}$$ $$x^{1/2} = x^{0.5}$$ - Чисельник: $$x^{2/3} - x^{3/5} \to \infty$$ (домінує перший член) - Знаменник: $$x^{1/2} - x^{1/2} = 0$$, але різниця малих доданків: $$\sqrt[4]{3x^2 + 5x - 4} - \sqrt[4]{3x^2 - x -1} \approx \frac{(5x - 4) - (-x -1)}{4 (3x^2)^{3/4}} = \frac{6x - 3}{4 \cdot 3^{3/4} x^{3/2}} = \frac{6x}{const \cdot x^{3/2}} = \frac{6}{const \cdot x^{1/2}} \to 0$$ - Отже, чисельник зростає як $$x^{2/3}$$, знаменник прямує до 0, границя: $$\lim = +\infty$$ 2.в) $$\lim_{x \to -1} \frac{3x^2 + 4x + 1}{3x^2 + x - 2}$$ - Підставимо $$x = -1$$: Чисельник: $$3(1) - 4 + 1 = 0$$ Знаменник: $$3(1) -1 - 2 = 0$$ - Маємо невизначеність $$\frac{0}{0}$$, розкладемо на множники: Чисельник: $$3x^2 + 4x + 1 = (3x + 1)(x + 1)$$ Знаменник: $$3x^2 + x - 2 = (3x - 2)(x + 1)$$ - Скоротимо на $$(x + 1)$$: $$\lim_{x \to -1} \frac{3x + 1}{3x - 2} = \frac{3(-1) + 1}{3(-1) - 2} = \frac{-3 + 1}{-3 - 2} = \frac{-2}{-5} = \frac{2}{5}$$ 2.г) $$\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{3x + 4} - \sqrt{3x + 1})$$ - Використаємо спряжене: $$= \lim_{x \to +\infty} \frac{(3x + 4) - (3x + 1)}{\sqrt{3x + 4} + \sqrt{3x + 1}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3}{\sqrt{3x + 4} + \sqrt{3x + 1}}$$ - Знаменник прямує до $$+\infty$$, отже границя: $$= 0$$ 2.д) $$\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin 5x}{x + 2x^2}$$ - Розкладемо в ряд Тейлора: $$\arcsin 5x \approx 5x$$ при малих $$x$$ - Знаменник: $$x + 2x^2 \approx x$$ - Отже: $$\lim_{x \to 0} \frac{5x}{x} = 5$$ 2.е) $$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 8}{x + 4}\right)^{7x}$$ - Запишемо у вигляді експоненти: $$= \lim_{x \to \infty} \exp\left(7x \ln \frac{x + 8}{x + 4}\right)$$ - Логарифм: $$\ln \frac{x + 8}{x + 4} = \ln \left(1 + \frac{4}{x + 4}\right) \approx \frac{4}{x}$$ при великих $$x$$ - Отже: $$7x \cdot \frac{4}{x} = 28$$ - Границя: $$= e^{28}$$ 3. Дослідити функції на неперервність: 3.a) $$f(x) = \begin{cases} -x, & x \leq 0 \\ x^2 + 1, & 0 < x \leq 2 \\ x + 1, & x > 2 \end{cases}$$ - Перевіримо неперервність у точках розриву: - В точці $$x=0$$: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = -0 = 0$$ $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0^2 + 1 = 1$$ Функція розривна в $$x=0$$ (розрив першого роду) - В точці $$x=2$$: $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2^2 + 1 = 5$$ $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = 2 + 1 = 3$$ Розрив першого роду в $$x=2$$ 3.б) $$f(x) = 6^{4 - \frac{1}{x}}$$ - Функція визначена для $$x \neq 0$$ - Перевіримо неперервність в $$x=0$$: - $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 6^{4 - (-\infty)} = 6^{+\infty} = +\infty$$ - $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 6^{4 - (+\infty)} = 6^{-\infty} = 0$$ - Розрив другого роду в $$x=0$$ 4. Знайти похідні: 4.a) $$y = 9 - (\arccos x)^3 \cdot 5^{\cos x}$$ - Використаємо правило добутку та ланцюгове правило: $$y' = - \left[3 (\arccos x)^2 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}) \cdot 5^{\cos x} + (\arccos x)^3 \cdot 5^{\cos x} \cdot \ln 5 \cdot (-\sin x)\right]$$ 4.б) $$y = (\cos 5x)^{\tan \frac{x}{5}}$$ - Запишемо як експоненту: $$y = e^{\tan \frac{x}{5} \cdot \ln (\cos 5x)}$$ - Похідна: $$y' = y \cdot \left( \sec^2 \frac{x}{5} \cdot \frac{1}{5} \cdot \ln (\cos 5x) + \tan \frac{x}{5} \cdot \frac{-5 \sin 5x}{\cos 5x} \right)$$ 4.в) $$x + 5y = e^{xy}$$ - Диференціюємо по $$x$$: $$1 + 5y' = e^{xy} (y + x y')$$ - Знайдемо $$y'$$: $$5y' - x e^{xy} y' = e^{xy} y - 1$$ $$y'(5 - x e^{xy}) = e^{xy} y - 1$$ $$y' = \frac{e^{xy} y - 1}{5 - x e^{xy}}$$ 4.г) $$\begin{cases} x = \cot(e^t), \\ y = \ln(e^t) = t. \end{cases}$$ - Похідні по $$t$$: $$\frac{dx}{dt} = -\csc^2(e^t) \cdot e^t$$ $$\frac{dy}{dt} = 1$$ 5. Рівняння дотичної і нормалі до кривої $$y = x^3 - 2x^2 + 4x - 7$$ в точці $$x_0 = 2$$: - Знайдемо $$y_0 = 2^3 - 2 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 - 7 = 8 - 8 + 8 - 7 = 1$$ - Похідна: $$y' = 3x^2 - 4x + 4$$ - Значення похідної в $$x=2$$: $$y'(2) = 3 \cdot 4 - 8 + 4 = 12 - 8 + 4 = 8$$ - Рівняння дотичної: $$y - 1 = 8(x - 2) \Rightarrow y = 8x - 15$$ - Рівняння нормалі: $$y - 1 = -\frac{1}{8} (x - 2) \Rightarrow y = -\frac{1}{8} x + \frac{5}{4}$$ 6. Границі за правилом Лопіталя: 6.a) $$\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^3} - 1}{\sin^3 x}$$ - Підставимо $$x=0$$: $$\frac{0}{0}$$, застосуємо Лопіталь: $$\lim_{x \to 0} \frac{3x^2 e^{x^3}}{3 \sin^2 x \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 e^{x^3}}{\sin^2 x \cos x}$$ - Знову підставимо $$x=0$$: $$\frac{0}{0}$$, застосуємо Лопіталь ще раз: $$\lim_{x \to 0} \frac{2x e^{x^3} + 3x^4 e^{x^3}}{2 \sin x \cos^2 x - \sin^3 x} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{2x} = 1$$ 6.б) $$\lim_{x \to \pi/2} (\sin x)^{\tan^2 x}$$ - Підставимо $$x = \pi/2$$: $$\sin \frac{\pi}{2} = 1$$, $$\tan \frac{\pi}{2} \to \infty$$, маємо форму $$1^{\infty}$$ - Запишемо як експоненту: $$= \lim_{x \to \pi/2} e^{\tan^2 x \cdot \ln(\sin x)}$$ - Знайдемо границю показника: $$\tan x \approx \frac{1}{\frac{\pi}{2} - x}$$, $$\sin x \approx 1 - \frac{1}{2} (\frac{\pi}{2} - x)^2$$ - Отже: $$\tan^2 x \cdot \ln(\sin x) \approx \frac{1}{(\frac{\pi}{2} - x)^2} \cdot \left(-\frac{1}{2} (\frac{\pi}{2} - x)^2\right) = -\frac{1}{2}$$ - Границя: $$= e^{-1/2}$$ 7. Формула Маклорена другого порядку для $$f(x) = \arctan 4x$$ з залишковим членом Лагранжа: $$f(x) = f(0) + f'(0) x + \frac{f''(\xi)}{2} x^2, \quad \xi \in (0, x)$$ - Обчислимо: $$f(0) = 0$$ $$f'(x) = \frac{4}{1 + 16x^2} \Rightarrow f'(0) = 4$$ $$f''(x) = -\frac{128x}{(1 + 16x^2)^2}$$ - Отже: $$\arctan 4x = 4x - \frac{64 \xi}{(1 + 16 \xi^2)^2} x^2$$ 8. Дослідити та побудувати графіки: 8.a) $$y = \frac{2x - 1}{(x - 1)^2}$$ - Область визначення: $$x \neq 1$$ - Вертикальна асимптота: $$x = 1$$ - Горизонтальна асимптота: $$\lim_{x \to \pm \infty} y = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x - 1}{(x - 1)^2} = 0$$ - Функція має розрив в $$x=1$$, знак функції змінюється при переході через цю точку 8.б) $$y = \frac{\ln x}{x}$$ - Область визначення: $$x > 0$$ - Границі: $$\lim_{x \to 0^+} y = -\infty$$ $$\lim_{x \to +\infty} y = 0$$ - Функція має максимум при розв'язанні $$y' = 0$$ 9. Задача оптимізації паралелограма: - Відповідь: паралелограм є ромбом, площа якого $$\frac{P^2}{16} \sin \alpha$$ 10. Оптимальний час підготовки: - Функція засвоєння: $$S(t) = \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t} + k} - \alpha \sqrt{t}$$ - Параметри: $$k = \frac{11}{10} = 1.1$$, $$\alpha = \frac{1}{11} \approx 0.0909$$ - Знайдемо похідну: $$S'(t) = \frac{\frac{1}{2 \sqrt{t}} (\sqrt{t} + k) - \sqrt{t} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{t}}}{(\sqrt{t} + k)^2} - \frac{\alpha}{2 \sqrt{t}} = \frac{\frac{1}{2} (\sqrt{t} + k) - \frac{1}{2} \sqrt{t}}{(\sqrt{t} + k)^2} - \frac{\alpha}{2 \sqrt{t}} = \frac{\frac{k}{2}}{(\sqrt{t} + k)^2} - \frac{\alpha}{2 \sqrt{t}}$$ - Рівняння для максимуму: $$\frac{k}{(\sqrt{t} + k)^2} = \frac{\alpha}{\sqrt{t}}$$ - Позначимо $$x = \sqrt{t}$$, отримаємо: $$\frac{k}{(x + k)^2} = \frac{\alpha}{x} \Rightarrow k x = \alpha (x + k)^2$$ - Розкриємо дужки: $$k x = \alpha (x^2 + 2 k x + k^2) = \alpha x^2 + 2 \alpha k x + \alpha k^2$$ - Перенесемо все в один бік: $$\alpha x^2 + 2 \alpha k x + \alpha k^2 - k x = 0$$ $$\alpha x^2 + (2 \alpha k - k) x + \alpha k^2 = 0$$ - Підставимо значення: $$\alpha = \frac{1}{11}, k = 1.1$$ $$\frac{1}{11} x^2 + \left(2 \cdot \frac{1}{11} \cdot 1.1 - 1.1\right) x + \frac{1}{11} \cdot (1.1)^2 = 0$$ $$\frac{1}{11} x^2 + (0.2 - 1.1) x + 0.11 = 0$$ $$\frac{1}{11} x^2 - 0.9 x + 0.11 = 0$$ - Помножимо на 11: $$x^2 - 9.9 x + 1.21 = 0$$ - Розв'яжемо квадратне рівняння: $$D = 9.9^2 - 4 \cdot 1.21 = 98.01 - 4.84 = 93.17$$ $$x = \frac{9.9 \pm \sqrt{93.17}}{2} \approx \frac{9.9 \pm 9.65}{2}$$ - Корені: $$x_1 \approx \frac{19.55}{2} = 9.775$$ $$x_2 \approx \frac{0.25}{2} = 0.125$$ - Враховуючи умови, вибираємо більший корінь: $$x = 9.775$$ - Отже, $$t = x^2 \approx 95.6$$ днів - Відповідь: приблизно 96 днів