1. مسئله: ثابت کنید $A - (A \cap B) = A - B$. 2. فرمول و قوانین: تفاضل مجموعه‌ها به این صورت تعریف می‌شود که $A - B = \{x | x \in A \text{ و } x \notin B\}$. 3. اثبات: - $x \in A - (A \cap B)$ یعنی $x \in A$ و $x \notin (A \cap B)$. - چون $x \notin (A \cap B)$، پس $x \notin B$ یا $x \notin A$. - اما $x \in A$، پس نتیجه می‌شود $x \notin B$. - بنابراین $x \in A - B$. - برعکس، اگر $x \in A - B$، آنگاه $x \in A$ و $x \notin B$. - پس $x \notin (A \cap B)$ و بنابراین $x \in A - (A \cap B)$. - پس دو مجموعه برابرند. 4. مسئله: مجموعه‌ها را مشخص کنید. (الف) $\{2^{xy} | x,y \in \mathbb{N}, x+y=5\}$. - مقادیر ممکن برای $(x,y)$ که $x+y=5$ هستند: $(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)$. - پس اعضا: $2^{1\times4} = 2^4 = 16$, $2^{2\times3} = 2^6 = 64$, $2^{3\times2} = 2^6 = 64$, $2^{4\times1} = 2^4 = 16$. - مجموعه برابر است با $\{16, 64\}$. (ب) $\left\{ \frac{(-1)^n}{n^2 + 3n + 1} | n \in \mathbb{N}, n \leq 4 \right\}$. - برای $n=1$: $\frac{(-1)^1}{1 + 3 + 1} = \frac{-1}{5} = -\frac{1}{5}$. - برای $n=2$: $\frac{1}{4 + 6 + 1} = \frac{1}{11}$. - برای $n=3$: $\frac{-1}{9 + 9 + 1} = \frac{-1}{19}$. - برای $n=4$: $\frac{1}{16 + 12 + 1} = \frac{1}{29}$. - مجموعه برابر است با $\left\{-\frac{1}{5}, \frac{1}{11}, -\frac{1}{19}, \frac{1}{29}\right\}$. 5. مسئله: اگر $n_1$ و $n_2$ جواب‌های معادله $x^2 - x + \sqrt{7} - 2 = 0$ باشند ($n_1 < n_2$)، مقدار $\frac{n_1}{n_2}$ را بیابید. - معادله: $x^2 - x + (\sqrt{7} - 2) = 0$. - دلتا: $\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (\sqrt{7} - 2) = 1 - 4\sqrt{7} + 8 = 9 - 4\sqrt{7}$. - ریشه‌ها: $n_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{9 - 4\sqrt{7}}}{2}$. - مقدار $\frac{n_1}{n_2} = \frac{\frac{1 - \sqrt{9 - 4\sqrt{7}}}{2}}{\frac{1 + \sqrt{9 - 4\sqrt{7}}}{2}} = \frac{1 - \sqrt{9 - 4\sqrt{7}}}{1 + \sqrt{9 - 4\sqrt{7}}}$. - صورت و مخرج را در $1 - \sqrt{9 - 4\sqrt{7}}$ ضرب می‌کنیم: $$\frac{(1 - \sqrt{9 - 4\sqrt{7}})^2}{1 - (9 - 4\sqrt{7})} = \frac{1 - 2\sqrt{9 - 4\sqrt{7}} + 9 - 4\sqrt{7}}{1 - 9 + 4\sqrt{7}} = \frac{10 - 2\sqrt{9 - 4\sqrt{7}} - 4\sqrt{7}}{4\sqrt{7} - 8}$$ 6. مسئله: معادله $0 = m - n - 2n^2$ جواب حقیقی ندارد. عدد $m$ را تعیین کنید. - معادله به صورت $2n^2 + n - m = 0$ است. - برای نداشتن جواب حقیقی، دلتا باید منفی باشد: $$\Delta = 1^2 - 4 \times 2 \times (-m) = 1 + 8m < 0$$ - پس: $$1 + 8m < 0 \Rightarrow m < -\frac{1}{8}$$ 7. مسئله: نا معادلات را بدست آورید. (الف) $\frac{x^3 + 2x^2}{x^4 + x + 7} > 0$. - مخرج $x^4 + x + 7$ همیشه مثبت است چون $x^4$ و $7$ مثبت و $x$ کوچک است. - پس علامت کسر به صورت صورت تعیین می‌شود. - صورت: $x^3 + 2x^2 = x^2(x + 2)$. - برای مثبت بودن، باید $x^2 > 0$ (که همیشه مثبت است مگر $x=0$) و $x + 2 > 0$ یعنی $x > -2$. - همچنین $x \neq 0$ چون صورت صفر شود. - پس جواب: $x \in (-2, 0) \cup (0, \infty)$. (ب) $2n / p + 4 < x - 3 < 5n + 7$. - این نا معادله دو طرفه است. - اضافه کردن 3 به هر طرف: $$2n / p + 7 < x < 5n + 10$$ - جواب به صورت بازه: $$x \in \left(\frac{2n}{p} + 7, 5n + 10\right)$$