1. Énoncé du problème : Déterminer la valeur de vérité et la négation de la proposition $P$: "$(\forall x \in \mathbb{R})(\exists m \in \mathbb{Z}) ; m \leq x \leq m+1$". - Cette proposition affirme que pour tout réel $x$, il existe un entier $m$ tel que $x$ est compris entre $m$ et $m+1$. 2. Analyse de la proposition : - Pour tout réel $x$, on peut choisir $m = \lfloor x \rfloor$ (la partie entière de $x$). - Ainsi, $m \leq x < m+1$ est toujours vrai. 3. Conclusion : - La proposition $P$ est vraie. 4. Négation de $P$ : - La négation de $P$ est : $(\exists x \in \mathbb{R})(\forall m \in \mathbb{Z}) ; x < m \text{ ou } x > m+1$. - Cela signifie qu'il existe un réel $x$ qui n'appartient à aucun intervalle $[m, m+1]$ pour $m \in \mathbb{Z}$, ce qui est faux. --- 5. Montrer que pour $(a,b) \in [1,+\infty[^2$ avec $a \neq b$, on a $\sqrt{1 - \frac{4}{a^2}} \neq \sqrt{1 - \frac{4}{b^2}}$. 6. Raisonnement : - Supposons par l'absurde que $\sqrt{1 - \frac{4}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{4}{b^2}}$. - Alors, $1 - \frac{4}{a^2} = 1 - \frac{4}{b^2}$. - Ce qui donne $\frac{4}{a^2} = \frac{4}{b^2}$. - Donc $a^2 = b^2$. - Comme $a,b \geq 1$, on a $a = b$, ce qui contredit $a \neq b$. 7. Conclusion : - $\sqrt{1 - \frac{4}{a^2}} \neq \sqrt{1 - \frac{4}{b^2}}$ si $a \neq b$. --- 8. Soient $a,b \in \mathbb{R}^+$ avec $a \geq 1$ et $b \geq 4$. Montrer que $$\sqrt{a-1} + 2\sqrt{b-4} = \frac{a+b}{2} \iff a=2 \text{ et } b=8.$$ 9. Preuve : - Posons $x = \sqrt{a-1} \geq 0$ et $y = \sqrt{b-4} \geq 0$. - L'équation devient $x + 2y = \frac{(x^2 +1) + (y^2 +4)}{2} = \frac{x^2 + y^2 + 5}{2}$. - Multiplions par 2 : $2x + 4y = x^2 + y^2 + 5$. - Réarrangeons : $x^2 - 2x + y^2 - 4y + 5 = 0$. - Complétons les carrés : $$ (x-1)^2 -1 + (y-2)^2 -4 + 5 = 0 \Rightarrow (x-1)^2 + (y-2)^2 = 0.$$ - Donc $x=1$ et $y=2$. - D'où $a-1 = 1^2 =1 \Rightarrow a=2$ et $b-4 = 2^2=4 \Rightarrow b=8$. 10. Conclusion : - L'équation est vraie si et seulement si $a=2$ et $b=8$. --- 11. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $$x^2 - 2|x| - 15 = 0.$$ 12. Posons $t = |x| \geq 0$. L'équation devient : $$t^2 - 2t - 15 = 0.$$ 13. Résolvons : $$t = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2} = \frac{2 \pm 8}{2}.$$ - $t_1 = 5$, $t_2 = -3$ (non retenu car $t \geq 0$). 14. Donc $|x| = 5 \Rightarrow x = \pm 5$. 15. Solutions : $x = 5$ ou $x = -5$. --- 16. Montrer que pour tout $m \in \mathbb{N}^*$, $\sqrt{m^2 + 1} \notin \mathbb{N}$. 17. Raisonnement : - Supposons $\sqrt{m^2 + 1} = k$ avec $k \in \mathbb{N}$. - Alors $k^2 = m^2 + 1$. - Ce qui donne $k^2 - m^2 = 1$. - Factorisons : $(k - m)(k + m) = 1$. - Comme $k,m$ sont entiers positifs, les facteurs sont entiers positifs. - Les seuls entiers positifs dont le produit est 1 sont 1 et 1. - Donc $k - m = 1$ et $k + m = 1$. - Cela implique $m=0$, ce qui contredit $m \in \mathbb{N}^*$. 18. Conclusion : - $\sqrt{m^2 + 1}$ n'est jamais un entier. --- 19. Montrer par récurrence : a) Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $11^n - 4^n$ est divisible par 7. 20. Initialisation : - Pour $n=0$, $11^0 - 4^0 = 1 - 1 = 0$, divisible par 7. 21. Hérédité : - Supposons $11^k - 4^k$ divisible par 7. - Montrons que $11^{k+1} - 4^{k+1}$ est divisible par 7. - $11^{k+1} - 4^{k+1} = 11 \cdot 11^k - 4 \cdot 4^k = 11(11^k - 4^k) + 4^k(11 - 4)$. - Par hypothèse, $11^k - 4^k$ est divisible par 7. - $11 - 4 = 7$ est divisible par 7. - Donc $11^{k+1} - 4^{k+1}$ est divisible par 7. 22. Conclusion : - Par récurrence, $11^n - 4^n$ est divisible par 7 pour tout $n \in \mathbb{N}$. --- 23. Montrer par récurrence : b) Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $$\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1}.$$ 24. Initialisation : - Pour $n=1$, $\frac{1}{1 \times 2} = \frac{1}{2}$ et $\frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$. - Vrai pour $n=1$. 25. Hérédité : - Supposons vrai pour $n=k$ : $$\sum_{i=1}^k \frac{1}{i(i+1)} = \frac{k}{k+1}.$$ - Montrons pour $n=k+1$ : $$\sum_{i=1}^{k+1} \frac{1}{i(i+1)} = \frac{k}{k+1} + \frac{1}{(k+1)(k+2)}.$$ - Mettons au même dénominateur : $$\frac{k(k+2)}{(k+1)(k+2)} + \frac{1}{(k+1)(k+2)} = \frac{k(k+2) + 1}{(k+1)(k+2)} = \frac{k^2 + 2k + 1}{(k+1)(k+2)}.$$ - Or $k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2$. - Donc : $$\frac{(k+1)^2}{(k+1)(k+2)} = \frac{k+1}{k+2}.$$ 26. Conclusion : - La formule est vraie pour $n=k+1$. - Par récurrence, la formule est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. --- Final answers: 1) $P$ est vraie. Négation : $(\exists x \in \mathbb{R})(\forall m \in \mathbb{Z}), x < m \text{ ou } x > m+1$. 2) $\sqrt{1 - \frac{4}{a^2}} \neq \sqrt{1 - \frac{4}{b^2}}$ si $a \neq b$. 3) $\sqrt{a-1} + 2\sqrt{b-4} = \frac{a+b}{2} \iff a=2$ et $b=8$. 4) Solutions de $x^2 - 2|x| - 15 = 0$ sont $x=5$ et $x=-5$. 5) $\forall m \in \mathbb{N}^*, \sqrt{m^2 + 1} \notin \mathbb{N}$. 6a) $11^n - 4^n$ est divisible par 7 pour tout $n \in \mathbb{N}$. 6b) $\sum_{i=1}^n \frac{1}{i(i+1)} = \frac{n}{n+1}$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.