1. **Énoncé du problème :** Déterminer la valeur de vérité et la négation des propositions données. 2. **Proposition A :** $(\forall x \in \mathbb{R}) : x^2 \geq 0$ - Cette proposition est vraie car le carré de tout nombre réel est toujours positif ou nul. - Négation : $(\exists x \in \mathbb{R}) : x^2 < 0$ (faux) 3. **Proposition B :** $(\forall x \in \mathbb{R}) : x^2 \geq x$ - Vrai pour $x \leq 0$ ou $x \geq 1$, faux sinon. - Négation : $(\exists x \in \mathbb{R}) : x^2 < x$ 4. **Proposition C :** $(\forall x,y \in \mathbb{R}) : x + y = 2$ - Faux car $x+y$ varie selon $x$ et $y$. - Négation : $(\exists x,y \in \mathbb{R}) : x + y \neq 2$ 5. **Proposition D :** $(\exists x \in \mathbb{R}) : x^3 = 8$ - Vrai car $x=2$ vérifie. - Négation : $(\forall x \in \mathbb{R}) : x^3 \neq 8$ 6. **Proposition E :** $(\exists x \in \mathbb{R}) : x^2 = -2$ - Faux car carré réel est $\geq 0$ - Négation : $(\forall x \in \mathbb{R}) : x^2 \neq -2$ 7. **Proposition P1 :** (3 est impair) et (3 = 5) - 3 est impair vrai, 3=5 faux donc P1 est faux. - Négation : (3 est pair) ou (3 \neq 5) 8. **Proposition P3 :** (9 - 3 = 6) et (-1 \in \mathbb{Z}) - Les deux sont vrais donc P3 vrai. - Négation : (9 - 3 \neq 6) ou (-1 \notin \mathbb{Z}) --- 9. **Calcul de x et y dans le tableau :** - Proportionnalité : $\frac{12}{3} = \frac{x}{5} = \frac{28}{y}$ - Calcul de $x$ : $x = \frac{12 \times 5}{3} = 20$ - Calcul de $y$ : $y = \frac{28 \times 3}{12} = 7$ 10. **Distance réelle :** - Échelle $1/50000$ signifie 1 cm carte = 50000 cm réel - Distance réelle = $13.5 \times 50000 = 675000$ cm = $6750$ m = $6.75$ km 11. **Pourcentage de réussite :** - $\frac{185}{380} \times 100 = 48.68\%$ 12. **Choix du magasin :** - Prix réduit 1er magasin : $2500 \times (1 - 0.30) = 1750$ - Prix réduit 2e magasin : $3000 \times (1 - 0.45) = 1650$ - Meilleur magasin : 2e magasin 13. a) Résoudre $|x - 7| = 7$ - $x - 7 = 7 \Rightarrow x = 14$ - $x - 7 = -7 \Rightarrow x = 0$ b) Résoudre $5x + 2 \leq 2x - 1$ - $5x - 2x \leq -1 - 2$ - $3x \leq -3 \Rightarrow x \leq -1$ 14. **Tableau de signes de $(2x - 4)(-3x + 3)$ :** - Zéros : $2x - 4 = 0 \Rightarrow x=2$, $-3x + 3=0 \Rightarrow x=1$ - Intervalles : $(-\infty,1)$, $(1,2)$, $(2,+\infty)$ - Signe : - $x<1$ : $(2x-4)<0$, $(-3x+3)>0$ donc produit $<0$ - $10$ - $x>2$ : $(2x-4)>0$, $(-3x+3)<0$ donc produit $<0$ 15. a) Résoudre $2x^2 + x - 3 = 0$ - $\\Delta = 1^2 - 4 \times 2 \times (-3) = 1 + 24 = 25$ - $x = \frac{-1 \pm 5}{2 \times 2}$ - $x_1 = \frac{4}{4} = 1$, $x_2 = \frac{-6}{4} = -1.5$ b) Factoriser : - $2x^2 + x - 3 = (2x - 3)(x + 1)$ c) Tableau de signes : - Racines $-1.5$ et $1$ - Parabole ouverte vers le haut - Signe négatif entre racines, positif ailleurs 16. d) Résoudre $2x^2 + x - 3 > 0$ - Solution : $x < -1.5$ ou $x > 1$ 17. **Système :** $\begin{cases} 5x + 7y = 3 \\ x - 2y = 4 \end{cases}$ - $x = 4 + 2y$ - Substituer : $5(4 + 2y) + 7y = 3 \Rightarrow 20 + 10y + 7y = 3 \Rightarrow 17y = -17 \Rightarrow y = -1$ - $x = 4 + 2(-1) = 2$ **Réponse finale :** - $x=2$, $y=-1$