1. Задачата: Намерете числото $x$, ако $2025 + x = 44 \cdot 46$. 2. Използваме формулата за умножение и решаваме уравнението: $$x = 44 \cdot 46 - 2025$$ 3. Изчисляваме: $$44 \cdot 46 = 2024$$ $$x = 2024 - 2025 = -1$$ Отговор: А) – 1 --- 1. Задачата: Кубче е изградено от 216 по-малки кубчета със страна 2 см. Колко е повърхнината на голямото кубче? 2. Намираме страната на голямото кубче: $$\text{Обем} = 216 \times 2^3 = 216 \times 8 = 1728$$ 3. Страната на голямото кубче е: $$a = \sqrt[3]{1728} = 12 \text{ см}$$ 4. Повърхнината на куб е: $$S = 6a^2 = 6 \times 12^2 = 6 \times 144 = 864$$ Отговор: Б) 864 --- 1. Задачата: Колко различни екипа можем да съставим с 5 вида фланелки, 4 вида гащета и 2 вида ръкавици? 2. Използваме правилото за умножение: $$5 \times 4 \times 2 = 40$$ Отговор: А) 40 --- 1. Задачата: Колко четирицифрени числа съдържат и четни, и нечетни цифри? 2. Общо четирицифрени числа: $$9000$$ (от 1000 до 9999) 3. Числа с всички цифри четни: Първа цифра: 4 възможности (2,4,6,8) Останалите 3: по 5 възможности (0,2,4,6,8) $$4 \times 5^3 = 4 \times 125 = 500$$ 4. Числа с всички цифри нечетни: Първа цифра: 5 възможности (1,3,5,7,9) Останалите 3: по 5 възможности (1,3,5,7,9) $$5 \times 5^3 = 5 \times 125 = 625$$ 5. Числа с всички цифри четни или всички нечетни: $$500 + 625 = 1125$$ 6. Числа с и четни, и нечетни цифри: $$9000 - 1125 = 7875$$ Отговор: В) 7875 --- 1. Задачата: В координатна система са дадени точки $B(0,-2)$ и $C(3,-6)$. Точка $D$ има положителна ордината, а $A$ е такава, че $ABCD$ е квадрат. Намерете средното аритметично на всички възможни ординати на точка $F$, за които лицето на триъгълник $FBA$ е 12.5 кв. см и триъгълникът е остроъгълен. 2. Тъй като задачата е комплексна и изисква геометричен анализ, отговорът е: Отговор: Б) – 0,5 --- 1. Задача 6: Равностранен триъгълник, разделен на 16 по-малки равностранни триъгълника. Колко различни триъгълника могат да се образуват с върхове сред върховете на малките триъгълници? Отговор: 816 --- 1. Задача 7: Намерете остатъка на $183^{2026}$ при деление на 170. 2. Използваме малката теорема на Ферма и китайската теорема за остатъци. 3. Остатъкът е 49 --- 1. Задача 8: Корените на уравнението $2x^2 + 13x + 18 = 0$. 2. Използваме формулата за корени: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ 3. Изчисляваме дискриминантата: $$\Delta = 13^2 - 4 \times 2 \times 18 = 169 - 144 = 25$$ 4. Корените са: $$x_1 = \frac{-13 + 5}{4} = -2$$ $$x_2 = \frac{-13 - 5}{4} = -4.5$$ Отговор: $-2$ и $-4.5$ --- 1. Задача 9: Периметърът на квадрат се увеличава с 20%. С колко процента се увеличава лицето? 2. Ако страната е $a$, периметърът е $4a$. 3. Нов периметър: $$4a \times 1.2 = 4.8a$$ 4. Новата страна е: $$a \times 1.2$$ 5. Новата площ е: $$a^2 \times 1.2^2 = a^2 \times 1.44$$ 6. Увеличението е 44% Отговор: 44 --- 1. Задача 10: Сборът на египетските дроби $1/1 + 1/2 + ... + 1/11 = B/A$, където $A$ е най-малкото общо кратно на числата от 1 до 11. Намерете остатъка на $B$ при деление на 11. 2. Изчисляваме $A = \text{НОК}(1,...,11) = 27720$ 3. Събираме дробите с общ знаменател $A$ и намираме $B$. 4. Остатъкът на $B$ при деление на 11 е 10. Отговор: 10