### Exercice ① 1. Écrire les propositions à l'aide des quantificateurs : 1.1 P₁ : "Quel que soit $m \in \mathbb{Z}$, il existe au moins un $n \in \mathbb{N}$ tel que $m + n \leq 12$." $$\forall m \in \mathbb{Z}, \exists n \in \mathbb{N} : m + n \leq 12$$ 1.2 P₂ : "Pour tout $n \in \mathbb{N}$, si $n$ est impair alors $n^2 + 1$ est pair." $$\forall n \in \mathbb{N}, (n \text{ impair} \Rightarrow n^2 + 1 \text{ est pair})$$ --- 2. Donner la négation des propositions suivantes : 2.1 Q₁ : $\forall x \in \mathbb{R} : x^2 > 0$ ou $x^2 = 0$ - Forme originale : $$\forall x \in \mathbb{R}, \bigl(x^2 > 0 \lor x^2 = 0\bigr)$$ - Négation (il existe au moins un $x$ qui ne vérifie pas) : $$\exists x \in \mathbb{R} : \neg(x^2 > 0 \lor x^2 = 0)$$ - En appliquant la négation de $A \lor B$ c'est $\neg A \land \neg B$ : $$\exists x \in \mathbb{R} : x^2 \leq 0 \land x^2 \neq 0$$ 2.2 Q₂ : $\forall x \in \mathbb{R} : -1 \leq \sin(x) \leq 1$ - Négation : $$\exists x \in \mathbb{R} : \sin(x) < -1 \lor \sin(x) > 1$$ --- 3. Donner la vérité des propositions : 3.1 R₁ : $$\exists x \in \mathbb{R} : 3x^2 - 7x + 4 = 0$$ - Calcul du discriminant : $$\Delta = (-7)^2 - 4 \times 3 \times 4 = 49 - 48 = 1 > 0$$ - Il y a deux solutions réelles, donc la proposition est vraie. 3.2 R₂ : $$\forall x \in \mathbb{R} : 3x^2 - 7x + 4 \leq 0$$ - Puisque $3x^2 - 7x + 4$ est un polynôme du second degré avec $a=3>0$, parabole ouverte vers le haut. - Trouvons les racines : $$x_1 = \frac{7 - 1}{2 \times 3} = 1$$ $$x_2 = \frac{7 + 1}{2 \times 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$$ - La parabole est négative entre les racines et positive en dehors. - Exemple : pour $x=0$, $3(0)^2 -7(0) + 4 = 4 >0$ donc la proposition est fausse. --- ### Exercice ② 1. Montrer que $$\forall a \in \mathbb{R} \setminus \{\tfrac{1}{3}\} : a \neq \tfrac{3}{4} \Rightarrow \frac{2a+1}{3a-1} \neq 2$$ - Supposons par l'absurde que $$\frac{2a+1}{3a-1} = 2$$ - Sachant que $3a - 1 \neq 0$, multiplions : $$2a + 1 = 2(3a - 1) = 6a - 2$$ - Réarrangeons : $$2a + 1 = 6a - 2 \Rightarrow 1 + 2 = 6a - 2a \Rightarrow 3 = 4a \Rightarrow a = \frac{3}{4}$$ - Donc si la fraction vaut 2, alors $a=\frac{3}{4}$. - Par contraposée : si $a \neq \frac{3}{4}$ alors fraction $\neq 2$. 2. Montrer que $$\forall x \in [1, +\infty[ : x - 4\sqrt{x} - 1 = -3 \iff x = 5$$ - Résolvons l'équation : $$x - 4\sqrt{x} - 1 = -3$$ - Additionnons 1 des deux côtés : $$x - 4\sqrt{x} = -2$$ - Posons $t = \sqrt{x} \geq 1$ car $x \geq 1$ donc $t \geq 1$, on obtient : $$t^2 - 4t + 2 = 0$$ - Calcul du discriminant : $$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 2 = 16 - 8 = 8$$ - Racines : $$t = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$$ - Seulement $t = 2 + \sqrt{2} \approx 3.414 > 1$ est admissible. - Vérifions $x = t^2 = (2 + \sqrt{2})^2 = 4 + 4\sqrt{2} + 2 = 6 + 4\sqrt{2} \neq 5$ donc pas égal à 5. - Vérifions $x=5$ dans l'équation originale : $$5 - 4\sqrt{5} - 1 = 5 - 4 \times 2.236 - 1 = 5 - 8.944 - 1 = -4.944 \neq -3$$ - Il semble y avoir une erreur dans l'énoncé. Si on considère l'équation à $-3$ à droite, elle n'a pas $x=5$ comme solution. - Si l'équation est $x - 4 \sqrt{x} -1 = -3$ alors on déduit $x - 4 \sqrt{x} = -2$ comme ci-dessus, mais $x=5$ n'est pas solution. - Vérification rapide avec $x=5$ en approximatif ne convient pas. - Par conséquent, la seule solution admissible est $x = (2 + \sqrt{2})^2$ qui est stricte. 3. Montrer par récurrence : 3.1 T₁ : Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $7$ divise $3^{2n} - 2^n$ - *Initialisation* : Pour $n=0$, $3^{0} - 2^{0} = 1 - 1 = 0$ divisible par 7. - *Hérédité* : Supposons $7 | 3^{2k} - 2^k$, montrons pour $k+1$. $$3^{2(k+1)} - 2^{k+1} = 3^{2k+2} - 2 imes 2^{k} = 9 imes 3^{2k} - 2 imes 2^k$$ $$= 9 (3^{2k} - 2^k) + 9 imes 2^k - 2 imes 2^k = 9(3^{2k} - 2^k) + 7 imes 2^k$$ - Par hypothèse de récurrence, $7 | (3^{2k} - 2^k)$ donc $7 | 9(3^{2k} - 2^k)$. Et $7 | 7 imes 2^k$. Donc $7$ divise la somme. - Conclusion: la propriété est vraie pour tout $n$. 3.2 T₂ : pour tout $n \in \mathbb{N}$, $$1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1) = (n + 1)^2$$ - *Initialisation* : $n=0$ : somme $= 2*0 +1 = 1$ et $(0+1)^2=1$ vraie. - *Hérédité* : supposons vrai jusqu'à $n=k$ : $$1 + 3 + 5 + ... + (2k + 1) = (k + 1)^2$$ - Montrons pour $k+1$ : $$1 + 3 + 5 + ... + (2k + 1) + (2(k+1) +1) = (k+1)^2 + (2k + 3)$$ $$= (k+1)^2 + 2k + 3 = k^2 + 2k + 1 + 2k + 3 = k^2 + 4k + 4 = (k+2)^2$$ - Donc vrai pour $k+1$. - Conclusion: la formule est vraie pour tout $n$ par récurrence. --- ### Exercice ③ Soient les fonctions $f$ et $g$ définies par leurs courbes respectives : - $(C_f)$ est une courbe passant par $(0, -1)$ avec un maximum près de $(1.5, 3)$, puis un minimum près de $(3, -1)$, finissant vers $(5, 2.5)$. - $(C_g)$ est une parabole convexe passant proche de $(1, 2)$, sommet $(2.5, 0)$, et montant vers $(5, 6)$. **Aucune question écrite explicite donc pas de solution mathématique ici.**