1. **Énoncé du problème 1:** Déterminer en extension l'ensemble $A = \{x \in \mathbb{Z} \mid \frac{x^2 - x + 2}{2x + 1} \in \mathbb{Z} \}$. 2. **Analyse:** Par définition, $A$ contient tous les entiers $x$ tels que le quotient $\frac{x^2 - x + 2}{2x + 1}$ soit un entier. 3. **Expression:** Posons $Q = \frac{x^2 - x + 2}{2x + 1}$. Le dénominateur ne doit pas être nul donc $2x + 1 \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{2}$, ce qui est toujours vrai puisque $x \in \mathbb{Z}$. 4. **Division euclidienne:** Effectuons la division du polynôme du numérateur par celui du dénominateur. Calculons $Q$: $$Q = \frac{x^2 - x + 2}{2x+1}$$ Posons le quotient $q(x)$ et le reste $r(x)$ tels que $$x^2 - x + 2 = (2x + 1)q(x) + r(x)$$ Cherchons $q(x)$ de degré 1: $q(x) = ax + b$. Multiplions: $$(2x + 1)(ax + b) = 2a x^2 + (2b + a)x + b$$ On veut faire correspondre à $x^2 - x + 2$, donc les coefficients s'égalisent: - $2a = 1 \implies a = \frac{1}{2}$ - $2b + a = -1 \implies 2b + \frac{1}{2} = -1 \implies 2b = -\frac{3}{2} \implies b = -\frac{3}{4}$ - $b = 2$ ??? En fait $b$ dans le reste est un coefficient constant, on doit fixer le reste de degré 0, donc on a: Le reste $r$ est un polynôme de degré < 1, donc constant $r = r_0$. Reprenons la division traditionnelle: Dividende : $x^2 - x + 2$, diviseur : $2x + 1$. 1ère étape: diviser $x^2$ par $2x$ donne $\frac{x}{2}$. Multiplier par $2x + 1$: $$\frac{x}{2}(2x + 1) = x^2 + \frac{x}{2}$$ Soustraire: $$ (x^2 - x + 2) - (x^2 + \frac{x}{2}) = -x - \frac{x}{2} + 2 = -\frac{3x}{2} + 2$$ 2ème étape: diviser $-\frac{3x}{2}$ par $2x$ donne $-\frac{3}{4}$. Multiplier par $2x + 1$: $$ -\frac{3}{4} (2x + 1) = -\frac{3x}{2} - \frac{3}{4}$$ Soustraire: $$ (-\frac{3x}{2} + 2) - (-\frac{3x}{2} - \frac{3}{4}) = 2 + \frac{3}{4} = \frac{11}{4}$$ Donc le quotient est: $$q(x) = \frac{x}{2} - \frac{3}{4}\quad \text{et} $$le reste est$$r = \frac{11}{4}$$ 5. **Représentation:** $$\frac{x^2 - x + 2}{2x + 1} = q(x) + \frac{r}{2x+1} = \frac{x}{2} - \frac{3}{4} + \frac{11/4}{2x+1}$$ 6. **Conditions d'intégralité:** Pour que $Q$ soit entier, le terme $\frac{11/4}{2x + 1}$ doit être un nombre entier moins $\frac{x}{2} - \frac{3}{4}$, mais $\frac{x}{2} - \frac{3}{4}$ n'est pas forcément un entier. Pour résoudre facilement, multiplions les deux côtés par 4 pour éviter fractions: $$4Q = 2x - 3 + \frac{11}{2x + 1} \times 4 = 2x -3 + \frac{44}{2x + 1}$$ Donc $4Q$ est entier si et seulement si $\frac{44}{2x + 1}$ est entier puisque $2x -3$ est entier. 7. **Divisibilité:** Il faut que $2x + 1$ divise 44. Les diviseurs entiers de 44 sont: $$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 11, \pm 22, \pm 44$$ 8. **Trouvons $x$:** Pour chacun $d$ diviseur de 44, posons $2x + 1 = d$, donc $$x = \frac{d - 1}{2}$$ Nous devons vérifier $x \in \mathbb{Z}$ donc $d -1$ pair. - Pour $d = 1$: $x = (1-1)/2 = 0$ est entier. - Pour $d = -1$: $x = (-1 -1)/2 = -1$ est entier. - Pour $d=2$: $x = (2-1)/2 = \frac{1}{2}$ pas entier. - $d = -2$: $x = (-2 -1)/2 = -\frac{3}{2}$ pas entier. - $d=4$: $x = \frac{4-1}{2} = \frac{3}{2}$ pas entier. - $d=-4$: $x = \frac{-4-1}{2} = -\frac{5}{2}$ pas entier. - $d=11$: $x = (11-1)/2 = 5$ entier. - $d=-11$: $x = (-11 -1)/2 = -6$ entier. - $d=22$: $x = (22 - 1)/2 = \frac{21}{2}$ pas entier. - $d=-22$: $x = (-22 -1)/2 = -\frac{23}{2}$ pas entier. - $d=44$: $x = (44 -1)/2 = \frac{43}{2}$ pas entier. - $d=-44$: $x = (-44 -1)/2 = -\frac{45}{2}$ pas entier. 9. **Ensemble $A$:** $$A = \{-6, -1, 0, 5\}$$ --- 10. **Énoncé problème 2 - ensemble $E$:** $$E = \left\{ \frac{\pi}{10} + k \frac{\pi}{5} \middle| |k - 1| \leq 3, k \in \mathbb{Z} \right\}$$ 11. **Analyse:** L'inégalité $|k - 1| \leq 3$ donne: $$-3 \leq k - 1 \leq 3 \implies -2 \leq k \leq 4$$ Les entiers $k$ possibles sont donc $-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4$. 12. **Calcul de tous les éléments:** Pour chaque $k$: - $k=-2$: $\frac{\pi}{10} -2\frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{10} - \frac{4\pi}{10} = -\frac{3\pi}{10}$ - $k=-1$: $\frac{\pi}{10} - \frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{10} - \frac{2\pi}{10} = -\frac{\pi}{10}$ - $k=0$: $\frac{\pi}{10}$ - $k=1$: $\frac{\pi}{10} + \frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi}{10} = \frac{3\pi}{10}$ - $k=2$: $\frac{\pi}{10} + 2 \frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{10} + \frac{4\pi}{10} = \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2}$ - $k=3$: $\frac{\pi}{10} + 3 \frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{10} + \frac{6\pi}{10} = \frac{7\pi}{10}$ - $k=4$: $\frac{\pi}{10} + 4 \frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{10} + \frac{8\pi}{10} = \frac{9\pi}{10}$ 13. **Ensemble $E$:** $$E = \left\{-\frac{3\pi}{10}, -\frac{\pi}{10}, \frac{\pi}{10}, \frac{3\pi}{10}, \frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{10}, \frac{9\pi}{10}\right\}$$ --- 14. **Énoncé problème 3 - ensemble $F$:** $$F = \left\{ \cos\left( \frac{\pi}{10} + k \frac{\pi}{5} \right) \middle| k \in \mathbb{Z} \right\}$$ 15. **Analyse:** La fonction cosinus est périodique de période $2\pi$. 16. **Période de la variable:** La variable à l'intérieur est $\frac{\pi}{10} + k \frac{\pi}{5}$. La variation en fonction de $k$ est $\frac{\pi}{5}$. 17. **Calcul de la période par rapport à $k$:** Pour $k$ entier, $$\cos\left( \frac{\pi}{10} + (k+10) \frac{\pi}{5} \right) = \cos\left( \frac{\pi}{10} + k \frac{\pi}{5} + 2\pi \right) = \cos\left( \frac{\pi}{10} + k \frac{\pi}{5} \right)$$ La période en $k$ est donc 10. 18. **Donc $F$ contient au plus 10 valeurs distinctes.** 19. **Calculons ces 10 valeurs pour $k = 0, 1, \dots, 9$: ** Pour $k=0$: $\cos\frac{\pi}{10}$ $k=1$: $\cos\frac{3\pi}{10}$ $k=2$: $\cos\frac{5\pi}{10} = \cos\frac{\pi}{2} = 0$ $k=3$: $\cos\frac{7\pi}{10}$ $k=4$: $\cos\frac{9\pi}{10}$ $k=5$: $\cos\frac{11\pi}{10} = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{10}\right) = - \cos\frac{\pi}{10}$ $k=6$: $\cos\frac{13\pi}{10} = - \cos\frac{3\pi}{10}$ $k=7$: $\cos\frac{15\pi}{10} = \cos\frac{3\pi}{2} = 0$ $k=8$: $\cos\frac{17\pi}{10} = - \cos\frac{7\pi}{10}$ $k=9$: $\cos\frac{19\pi}{10} = - \cos\frac{9\pi}{10}$ 20. **Ensemble $F$ en extension:** $$F = \{ \cos\frac{\pi}{10}, \cos\frac{3\pi}{10}, 0, \cos\frac{7\pi}{10}, \cos\frac{9\pi}{10}, -\cos\frac{\pi}{10}, -\cos\frac{3\pi}{10}, -\cos\frac{7\pi}{10}, -\cos\frac{9\pi}{10} \}$$ --- **Résumé final:** - $A = \{-6, -1, 0, 5\}$ - $E = \left\{-\frac{3\pi}{10}, -\frac{\pi}{10}, \frac{\pi}{10}, \frac{3\pi}{10}, \frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{10}, \frac{9\pi}{10}\right\}$ - $F = \{ \cos\frac{\pi}{10}, \cos\frac{3\pi}{10}, 0, \cos\frac{7\pi}{10}, \cos\frac{9\pi}{10}, -\cos\frac{\pi}{10}, -\cos\frac{3\pi}{10}, -\cos\frac{7\pi}{10}, -\cos\frac{9\pi}{10} \}$