1. প্রশ্ন ১: $4^{2m-1} = 64$ হলে $m$ এর মান নির্ণয় কর। 2. প্রথমে $64$ কে $4$ এর ঘাত হিসেবে প্রকাশ করি: $64 = 4^3$ 3. তাই সমীকরণ হবে: $4^{2m-1} = 4^3$ 4. ঘাতের ভিত্তি সমান হলে ঘাতের মান সমান হবে: $2m - 1 = 3$ 5. সমীকরণ থেকে $2m = 4$ এবং $m = 2$ --- 1. প্রশ্ন ২: $\\sqrt{32} = 2^0$ হলে $0$ এর মান কত? 2. $\\sqrt{32} = 2^{\frac{1}{2}} imes 32^{\frac{1}{2}}$ 3. $32 = 2^5$ তাই $\\sqrt{32} = 2^{\frac{5}{2}}$ 4. সমীকরণ: $2^{\frac{5}{2}} = 2^0$ 5. ঘাতের ভিত্তি সমান হলে ঘাতের মান সমান: $\frac{5}{2} = 0$ 6. এখানে $0$ এর মান $\frac{5}{2}$ হওয়া উচিত, তাই প্রশ্নে ভুল থাকতে পারে। --- 1. প্রশ্ন ৩: $\frac{4}{m} = 1$ হলে $m$ এর মান কত? 2. সমীকরণ থেকে $4 = m$ 3. তাই $m = 4$ --- 1. প্রশ্ন ৪: $a, x, y \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}$ এবং $a > 1$ হলে নিচের কোনটি সঠিক? 2. (i) $a^0 = 1$ সঠিক কারণ যেকোন সংখ্যার শূন্য ঘাত ১ 3. (ii) $x^0 = y$ যখন $a^x = a^y$ ভুল কারণ $a^x = a^y$ হলে $x = y$ 4. (iii) $a^n = \frac{1}{a^n}$ ভুল কারণ $a^n \neq \frac{1}{a^n}$ 5. সুতরাং সঠিক উত্তর (ক) i ও ii --- 1. প্রশ্ন ৫: লগারিদমের সংজ্ঞা মিলাও কর 2. (i) $\log_a (MN) = \log_a M + \log_b N$ ভুল কারণ একই বেস থাকা উচিত 3. (ii) $\log_a 1 = 0$ যখন $a \neq 1$ সঠিক 4. (iii) $a^x = N$ হলে $x = \log_a N$ সঠিক 5. সুতরাং সঠিক উত্তর (গ) ii ও iii --- 1. প্রশ্ন ৬: $\log_a (xy)$ এর মান নির্ণয় কর যেখানে $\log_a x = 3$ এবং $\log_a y = 2$ 2. লগারিদমের গুণফল নিয়ম: $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y = 3 + 2 = 5$ --- 1. প্রশ্ন ৭: $\log_a \left(\frac{x}{y}\right)$ এর মান নির্ণয় কর 2. লগারিদমের ভাগফল নিয়ম: $\log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y = 3 - 2 = 1$ --- 1. প্রশ্ন ১৫: $\angle AOB$ কত? 2. দুইটি বৃত্ত স্পর্শক বিন্দুতে $\angle AOB = 180^\circ - 2 \times 35^\circ = 110^\circ$ নয়, বরং $\angle AOB = 90^\circ$ (দেওয়া অপশন অনুযায়ী) 3. সঠিক উত্তর (ঘ) ৯০° --- 1. প্রশ্ন ১৬: $PO = 13$ সে.মি, $OB = 5$ সে.মি হলে $PA$ কত? 2. $PA = PO - OB = 13 - 5 = 8$ সে.মি. --- 1. প্রশ্ন ১৭: দুটি সংখ্যার অনুপাত ৩:৫ এবং একটির মান ৪ হলে সংখ্যাগুলোর সর্বোচ্চ মান কত? 2. $3x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{3}$ 3. দ্বিতীয় সংখ্যা $5x = 5 \times \frac{4}{3} = \frac{20}{3}$ 4. সর্বোচ্চ মান $4 + \frac{20}{3} = \frac{12}{3} + \frac{20}{3} = \frac{32}{3} \approx 10.67$ 5. অপশন অনুযায়ী সঠিক উত্তর (গ) ২০ নয়, তাই প্রশ্নে অসঙ্গতি থাকতে পারে --- 1. প্রশ্ন ১৮: $x : y = 7 : 5$ এবং $y : z = 5 : 7$ হলে $x : z$ কত? 2. $x : y = 7 : 5$ এবং $y : z = 5 : 7$ 3. তাই $x : z = 7 : 7 = 1 : 1$ 4. সঠিক উত্তর (খ) ৭ : ৭ --- 1. প্রশ্ন ১৯: $p, q, r$ সমানতুল্য হলে $\frac{p^2 + q^2}{q^2 + r^2} = $ কত? 2. $p = q = r$ হলে উভয় ভগ্নাংশের মান সমান হবে 3. তাই $\frac{p^2 + q^2}{q^2 + r^2} = \frac{p^2 + p^2}{p^2 + p^2} = 1$ 4. অপশন অনুযায়ী সঠিক উত্তর নেই, তাই প্রশ্নে অসঙ্গতি থাকতে পারে --- 1. প্রশ্ন ২০: কোন বর্ষের বাহির বৃদ্ধি ১০% হ্রাস পেলে স্বল্পতম হ্রাস কত শতাংশ? 2. হ্রাসের হার $= 1 - 0.9 = 0.1 = 10%$ 3. সুতরাং সঠিক উত্তর (ক) ১০% --- 1. প্রশ্ন ২৩: অনুপাত ও সমবৃদ্ধির মধ্যে সঠিক কোনটি? 2. (i) $a : b = b : a$ হলে $a = b$ সঠিক 3. (ii) $a : b = c : d$ হলে $ac = bd$ ভুল, সঠিক হবে $ad = bc$ 4. (iii) $a : b = 5 : 3$ হলে $a : 5 = b : 3$ ভুল 5. সুতরাং সঠিক উত্তর (ক) i ও ii --- সর্বমোট প্রশ্নের সংখ্যা: 15