1. **Πρόβλημα:** Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ). 2. **Επεξήγηση:** Θα εξετάσουμε κάθε πρόταση βασιζόμενοι σε βασικές ιδιότητες ορίων, μονοτονίας, συνέχειας και θεωρήματα ανάλυσης συναρτήσεων. 3. **Απαντήσεις:** - i. Αν $f(x) < g(x)$ κοντά στο $x_0$ και υπάρχουν τα $\lim_{x\to x_0} f(x)$, $\lim_{x\to x_0} g(x)$ τότε: $\lim_{x\to x_0} f(x) < \lim_{x\to x_0} g(x)$. **Σωστό (Σ)** γιατί το όριο διατηρεί τη σχέση. - ii. Αν $f$ φθίνουσα στο $(-\infty,0)$ τότε: $\lim_{x\to \infty} f(x) = +\infty$. **Λάθος (Λ)** γιατί η μονοτονία στο $(-\infty,0)$ δεν επηρεάζει το όριο στο $+\infty$. - iii. Αν $f$ συνεχής σε κλειστό διάστημα, τότε το πεδίο τιμών της είναι κλειστό διάστημα. **Σωστό (Σ)** λόγω του θεωρήματος Weierstrass. - iv. Αν $f$ συνεχής σε ανοικτό διάστημα, τότε το πεδίο τιμών της είναι ανοικτό διάστημα. **Λάθος (Λ)** γιατί το πεδίο τιμών μπορεί να είναι κλειστό ή ανοικτό. - v. Αν $f$ ορισμένη σε κλειστό διάστημα και δεν έχει ελάχιστη τιμή τότε η $f$ δεν είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα. **Σωστό (Σ)** από το θεώρημα Weierstrass. - vi. Αν υπάρχει $x_0 \in (\alpha,\beta)$ τέτοιο ώστε $f(x_0) = 0$ και $f(\alpha)f(\beta) < 0$ τότε η $f$ είναι συνεχής στο $[\alpha,\beta]$. **Λάθος (Λ)** γιατί η ύπαρξη ρίζας και αλλαγή πρόσημου δεν εξασφαλίζει συνέχεια. - vii. Αν μια συνάρτηση $f$ είναι συνεχής σε ένα σύνολο $A$ και δεν μηδενίζεται σε αυτό, τότε διατηρεί πρόσημο στο $A$. **Σωστό (Σ)** λόγω συνέχειας και μηδενισμού. - viii. Αν $\lim_{x\to x_0} f(x) = +\infty$, τότε $\lim_{x\to x_0} \frac{1}{f(x)} = -\infty$. **Λάθος (Λ)** γιατί το αντίστροφο τείνει σε 0 από θετική πλευρά. - ix. Αν $\lim_{x\to x_0} f(x) = -\infty$, τότε $\lim_{x\to x_0} (-f(x)) = +\infty$. **Σωστό (Σ)** λόγω αλλαγής πρόσημου. - x. Αν $\lim_{x\to x_0} f(x) = +\infty$, τότε η συνάρτηση $f$ δεν έχει ολικό μέγιστο. **Σωστό (Σ)** γιατί το όριο στο άπειρο αποκλείει μέγιστο. - xi. $\lim_{x\to x_0} f(x) = 0$ και $\lim_{x\to x_0} g(x) = +\infty$ τότε $\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$. **Σωστό (Σ)** γιατί το μηδενικό διαιρούμενο με άπειρο τείνει σε 0. - xii. Αν $f$ συνεχής στο $x_0$ και $g$ μη συνεχής στο $x_0$, τότε $f+g$ μη συνεχής στο $x_0$. **Σωστό (Σ)** γιατί το άθροισμα συνεχούς και μη συνεχούς είναι μη συνεχές. - xiii. Αν $\lim_{x\to x_0} f(x) > 0$ τότε $f(x) > 0$ κοντά στο $x_0$. **Σωστό (Σ)** λόγω ορισμού ορίου. - xiv. Αν μια συνάρτηση $f$ έχει όριο στο $x_0$, τότε αυτό είναι μοναδικό. **Σωστό (Σ)** από το θεώρημα μοναδικότητας ορίου. - xv. Αν $f$ συνεχής στο $[\alpha,\beta]$ και $f(\alpha)f(\beta) > 0$ τότε $f(x) \neq 0$ για κάθε $x \in [\alpha,\beta]$. **Σωστό (Σ)** λόγω συνέχειας και μη αλλαγής πρόσημου. 4. **Τελικό αποτέλεσμα:** i. Σ ii. Λ iii. Σ iv. Λ v. Σ vi. Λ vii. Σ viii. Λ ix. Σ x. Σ xi. Σ xii. Σ xiii. Σ xiv. Σ xv. Σ