1. المشكلة: نريد فهم الفرق بين الحد العلوي (supremum) والحد الأعلى (infimum) في سياق المتتاليات أو المجموعات العددية. 2. التعريفات: - الحد العلوي (supremum) لمجموعة هو أصغر قيمة أكبر من أو تساوي كل عناصر المجموعة. - الحد الأدنى (infimum) لمجموعة هو أكبر قيمة أصغر من أو تساوي كل عناصر المجموعة. 3. الفرق الأساسي: - الحد العلوي هو الحد الأعلى للمجموعة، أي القيمة التي لا تتجاوزها أي عناصر المجموعة. - الحد الأدنى هو الحد السفلي للمجموعة، أي القيمة التي لا تقل عنها أي عناصر المجموعة. 4. مثال: إذا كانت المجموعة $A = \{1, 2, 3, 4\}$، فإن الحد العلوي $\sup A = 4$ والحد الأدنى $\inf A = 1$. 5. ملاحظة: - الحد العلوي والحد الأدنى قد لا يكونان عناصر من المجموعة. - في حالة المتتاليات، الحد العلوي والحد الأدنى يساعدان في دراسة التقارب والتباعد. 6. خلاصة: الحد العلوي (supremum) هو أصغر حد أعلى، والحد الأدنى (infimum) هو أكبر حد أدنى، وهما مفهومان مهمان في التحليل الرياضي لفهم حدود المجموعات والمتتاليات.