1. Calculer les limites suivantes : a) $$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{10 + x + 3x}}{x^2 + 4x + 3} = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{10 +4x}}{(x+1)(x+3)} = \frac{\sqrt{10+4 \times 1}}{(1+1)(1+3)} = \frac{\sqrt{14}}{2 \times 4} = \frac{\sqrt{14}}{8}$$ b) $$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^2 - x - x} = \lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^2 - 2x}$$ Factoriser par $$x^2$$ à l'intérieur pour étudier la limite à l'infini: $$= \lim_{x \to -\infty} |x| \sqrt{1 - \frac{2}{x}}$$ Puisque $$x \to -\infty$$, alors $$|x| = -x$$, donc $$= \lim_{x \to -\infty} -x \sqrt{1 - \frac{2}{x}} = +\infty$$ c) $$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2 + 1 + x + 1} = \lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2 + x + 2}$$ Factoriser par $$x^2$$: $$= \lim_{x \to \infty} |x| \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}} = +\infty$$ d) $$\lim_{x \to 5} \frac{\sqrt{x + 22} - 3}{x^2 - 6x + 5}$$ Factorisation du dénominateur: $$x^2 - 6x + 5 = (x - 5)(x - 1)$$ Appliquons la forme indéterminée $$\frac{0}{0}$$ au point $$x=5$$, donc utiliser la conjugaison: $$= \lim_{x \to 5} \frac{(\sqrt{x + 22} - 3)(\sqrt{x + 22} + 3)}{(x - 5)(x - 1)(\sqrt{x + 22} + 3)} = \lim_{x \to 5} \frac{x + 22 - 9}{(x - 5)(x - 1)(\sqrt{x + 22} + 3)} = \lim_{x \to 5} \frac{x + 13}{(x - 5)(x - 1)(\sqrt{x + 22} + 3)}$$ Simplification: $$\frac{x + 13}{(x - 5)(x - 1)(\sqrt{x + 22} + 3)} = \frac{x + 13}{(x - 5)A}$$ où $$A = (x - 1)(\sqrt{x + 22} + 3)$$. On ne peut pas simplifier davantage, mais à $$x \to 5$$, substituons en annulant le facteur $$x-5$$: $$\lim_{x \to 5} \frac{x + 13}{(x - 1)(\sqrt{x + 22} + 3)(x - 5)}$$ ne convient pas, car division par 0. Reprenons la conjugaison correctement: $$\frac{\sqrt{x + 22} - 3}{(x - 5)(x - 1)} \times \frac{\sqrt{x + 22} + 3}{\sqrt{x + 22} + 3} = \frac{x + 22 - 9}{(x - 5)(x - 1)(\sqrt{x + 22} + 3)} = \frac{x + 13}{(x - 5)(x - 1)(\sqrt{x + 22} + 3)}$$ Ici, on remarque l'annulation au dénominateur en $$x = 5$$, mais au numérateur à $$x = -13$$, ce ne sera pas nul donc pas 0/0. Donc la limite diverge vers l'infini ou moins l'infini. 2. Classer en ordre croissant: $$\sqrt{2}, \sqrt[3]{3}, \sqrt[4]{5}, \sqrt[6]{7}, \sqrt[3]{14}$$ Pour comparer, écrire chaque nombre sous forme $$a^{1/n}$$ Approximation décimale: $$\sqrt{2} \approx 1.414$$ $$\sqrt[3]{3} \approx 1.442$$ $$\sqrt[4]{5} \approx 1.495$$ $$\sqrt[6]{7} \approx 1.383$$ $$\sqrt[3]{14} \approx 2.410$$ L'ordre croissant est: $$\sqrt[6]{7} < \sqrt{2} < \sqrt[3]{3} < \sqrt[4]{5} < \sqrt[3]{14}$$ 3. Fonction $$f$$ définie par: $$f(x) = \frac{\sqrt[3]{x + 8} - 2}{x}, x \neq 0$$ $$f(0) = \frac{1}{12}$$ a) Continuité en $$x_0=0$$? Calcul du limite à gauche et à droite en 0: $$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{x + 8} - 2}{x}$$ Appliquer le changement: $$t = x + 8$$ donc $$t \to 8$$ quand $$x \to 0$$. Transformer la limite: $$= \lim_{t \to 8} \frac{\sqrt[3]{t} - 2}{t - 8}$$ Cela équivaut à la dérivée de $$g(t) = \sqrt[3]{t}$$ en $$t=8$$: $$g'(t) = \frac{1}{3t^{2/3}} \Rightarrow g'(8) = \frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{12}$$ Donc, $$\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{12} = f(0)$$ Conclusion: $$f$$ est continue en $$x=0$$ b) $$f$$ est composée d'opérations continues sur $$\mathbb{R} \setminus \{0\}$$, donc $$f$$ est continue sur $$\mathbb{R} \setminus \{0\}$$. --- EXERCICE 2: 1. Fonction $$f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x - 1$$ Étudier les variations par dérivation: $$f'(x) = 3x^2 - 8x + 4$$ Résoudre $$f'(x) = 0$$: $$3x^2 - 8x + 4 = 0$$ $$\Delta = 64 - 48 = 16$$ Racines: $$x = \frac{8 \pm 4}{6}$$ donc $$x_1= \frac{4}{3}$$, $$x_2= 2$$ Tableau de signes $$f'(x)$$: $$(-\infty, \frac{4}{3}): f'(x) > 0$$ (car $$a=3>0$$ et parabole) $$\left(\frac{4}{3}, 2\right): f'(x) < 0$$ $$\left(2, +\infty\right): f'(x) > 0$$ Donc : $$f$$ croissante sur $$(-\infty, \frac{4}{3})$$ $$f$$ décroissante sur $$\left(\frac{4}{3}, 2\right)$$ $$f$$ croissante sur $$(2, +\infty)$$ 2. Montrer que $$f$$ coupe l'axe des abscisses une seule fois avec $$\alpha \in (2, 3)$$ Évaluer $$f(2)$$: $$f(2) = 8 - 16 + 8 - 1 = -1$$ Évaluer $$f(3)$$: $$27 - 36 + 12 - 1 = 2$$ Donc $$f(2) < 0 < f(3)$$ et $$f$$ est continue, donc un zéro $$\alpha \in (2,3)$$. Comme $$f'(x) > 0$$ pour $$x > 2$$, la fonction est strictement croissante ici donc unique racine. 3. Méthode de dichotomie pour obtenir une précision $$1.25 \times 10^{-1}$$ concernant $$\alpha$$ Intervalle initial $$[2,3]$$ Calcul intermédiaire: $$f(2.5) = (15.625) - (25) + (10) - 1 = -0.375 < 0$$ $$f(2.75) = (20.796875) - (30.25) + (11) - 1 = 0.546875 > 0$$ $$\Rightarrow \alpha \in [2.5, 2.75]$$ Longueur de l'intervalle: $$0.25 < 0.125$$ donc suffisante pour requête --- EXERCICE 3: 1. Equation $$x^5 + x^3 - 1 = 0$$ a) Montrer qu'elle admet une seule solution $$\alpha \in (0,1)$$ Rechercher signe: $$f(0) = -1 < 0$$ $$f(1) = 1 + 1 - 1 = 1 > 0$$ Donc racine $$\alpha \in (0,1)$$ Comme $$f'(x) = 5x^4 + 3x^2 > 0$$ pour tout $$x$$, la fonction est strictement croissante, donc unique solution. 2. Fonction $$f$$ définie par pièces: $$f(x) = \begin{cases} x^5 & x \leq \alpha \\ 1 - x^3 & x > \alpha \end{cases}$$ a) Montrer que $$f$$ est continue en $$x_0 = \alpha$$: Calcul des limites: $$\lim_{x \to \alpha^-} f(x) = \alpha^5$$ $$\lim_{x \to \alpha^+} f(x) = 1 - \alpha^3$$ Or, puisque $$\alpha$$ est racine: $$\alpha^5 + \alpha^3 - 1 = 0 \Rightarrow \alpha^5 = 1 - \alpha^3$$ Donc les limites à gauche et droite sont égales, donc $$f$$ continue en $$\alpha$$. b) Enfin, chaque morceau est continu sur leurs domaines respectifs donc $$f$$ continue sur $$\mathbb{R}$$. --- EXERCICE 4: 1. Fonction $$f(x) = x + 2\sqrt{x + 3} - 1$$ a) Domaine de définition $$D_f$$: $$x+3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3$$ Donc $$D_f = [-3, +\infty)$$ b) Limites aux bornes: $$\lim_{x \to -3^+} f(x) = -3 + 2\sqrt{-3+3} - 1 = -3 + 0 - 1 = -4$$ $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$$ car $$x$$ domine 2. a) Dérivée: $$f'(x) = 1 + 2 \times \frac{1}{2 \sqrt{x+3}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{x+3}} = \frac{\sqrt{x+3} + 1}{\sqrt{x+3}}$$ b) Étude du signe: Pour $$x > -3$$, $$\sqrt{x+3} > 0$$ Donc $$f'(x) > 0$$ pour tout $$x > -3$$ Donc $$f$$ est strictement croissante sur $$(-3, +\infty)$$ 3. Tableau de variation: $$x:\quad -3\quad \rightarrow \quad +\infty$$ $$f(x): -4 \quad \nearrow \quad +\infty$$ 4. Fonction $$g$$ restriction de $$f$$ sur $$I = [0, +\infty)$$ a) Montrer que $$g$$ admet une fonction réciproque $$g^{-1}$$ $$g$$ est continue et strictement croissante sur $$[0, +\infty)$$ donc inversible sur son image $$J = [g(0), +\infty)$$. Calculer $$g(0) = 0 + 2\sqrt{3} - 1 = 2\sqrt{3} - 1$$ b) Tableau de variation de $$g^{-1}$$: Puisque $$g$$ est strictemment croissante, $$g^{-1}$$ aussi, mais sur $$J$$. 5. a) Calcul: $$g(0) = 2\sqrt{3} - 1$$ Montrer que $$g^{-1}(2\sqrt{3} - 1) = 0$$ est direct par définition. b) Déterminer $$g^{-1}(x)$$ pour $$x \in J$$: Partir de l'équation: $$x = y + 2\sqrt{y + 3} - 1, \quad y \geq 0$$ Posons $$t = \sqrt{y + 3} \Rightarrow y = t^2 - 3$$, on a: $$x = t^2 - 3 + 2t - 1 = t^2 + 2t - 4$$ Réarranger: $$t^2 + 2t = x + 4$$ $$t^2 + 2t + 1 = x + 5$$ $$(t + 1)^2 = x + 5$$ $$t + 1 = \sqrt{x + 5}$$ (positif car $$t = \sqrt{y+3} \geq 0$$) Donc: $$t = \sqrt{x + 5} - 1$$ Finalement: $$y = t^2 - 3 = (\sqrt{x + 5} - 1)^2 - 3 = x + 5 - 2\sqrt{x + 5} + 1 - 3 = x + 3 - 2\sqrt{x + 5}$$ Donc: $$g^{-1}(x) = x + 3 - 2\sqrt{x + 5}$$ pour $$x \in J = [2\sqrt{3} - 1, +\infty)$$.