1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $u$ définie sur $\mathbb{R}$ par $u(x) = x^3 + 6x^2 + 2$. 2. **Calcul de la dérivée :** Pour dresser le tableau de variations, calculons $u'(x)$. $$u'(x) = 3x^2 + 12x = 3x(x+4)$$ 3. **Étude du signe de $u'(x)$ :** - $u'(x) = 0$ pour $x=0$ et $x=-4$. - Pour $x < -4$, $u'(x) > 0$ (car $x$ et $x+4$ sont négatifs, leur produit est positif). - Pour $-4 < x < 0$, $u'(x) < 0$. - Pour $x > 0$, $u'(x) > 0$. 4. **Tableau de variations :** - $u$ est croissante sur $]-\infty, -4]$. - $u$ est décroissante sur $[-4, 0]$. - $u$ est croissante sur $[0, +\infty[$. 5. **Valeurs aux points critiques :** $$u(-4) = (-4)^3 + 6(-4)^2 + 2 = -64 + 96 + 2 = 34$$ $$u(0) = 0 + 0 + 2 = 2$$ 6. **Montrer que $u(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ :** - $u$ est continue et strictement croissante sur $]-\infty, -4]$ puis décroissante puis croissante. - $u(-1) = (-1)^3 + 6(-1)^2 + 2 = -1 + 6 + 2 = 7 > 0$ - $u(-0.5) = (-0.5)^3 + 6(-0.5)^2 + 2 = -0.125 + 1.5 + 2 = 3.375 > 0$ - $u(-0.7) = (-0.7)^3 + 6(-0.7)^2 + 2 = -0.343 + 2.94 + 2 = 4.597 > 0$ - $u(-0.1) = (-0.1)^3 + 6(-0.1)^2 + 2 = -0.001 + 0.06 + 2 = 2.059 > 0$ - $u(-2) = (-2)^3 + 6(-2)^2 + 2 = -8 + 24 + 2 = 18 > 0$ - $u(-3) = (-3)^3 + 6(-3)^2 + 2 = -27 + 54 + 2 = 29 > 0$ - $u(-5) = (-5)^3 + 6(-5)^2 + 2 = -125 + 150 + 2 = 27 > 0$ En fait, il faut vérifier entre $-1/2$ et $0$ : - $u(-1/2) = (-1/2)^3 + 6(-1/2)^2 + 2 = -1/8 + 6(1/4) + 2 = -0.125 + 1.5 + 2 = 3.375 > 0$ - $u(0) = 2 > 0$ Mais on cherche une racine, donc il faut vérifier les signes aux extrémités : - $u(-1) = -1 + 6 + 2 = 7 > 0$ - $u(-2) = -8 + 24 + 2 = 18 > 0$ Il semble que $u(x)$ ne s'annule pas entre $-1$ et $0$ car $u$ est toujours positif. Recalculons $u(-3)$ : $$u(-3) = (-3)^3 + 6(-3)^2 + 2 = -27 + 54 + 2 = 29 > 0$$ Recalculons $u(-5)$ : $$u(-5) = (-5)^3 + 6(-5)^2 + 2 = -125 + 150 + 2 = 27 > 0$$ Il semble que $u(x)$ ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$, ce qui contredit l'énoncé. Vérifions $u(-0.6)$ : $$u(-0.6) = (-0.6)^3 + 6(-0.6)^2 + 2 = -0.216 + 2.16 + 2 = 3.944 > 0$$ Vérifions $u(-1.5)$ : $$u(-1.5) = (-1.5)^3 + 6(-1.5)^2 + 2 = -3.375 + 13.5 + 2 = 12.125 > 0$$ Il semble que $u(x)$ est toujours positif, donc pas de racine réelle. **Correction :** En fait, il faut vérifier le signe de $u$ pour $x$ négatif plus grand en valeur absolue. Calculons $u(-10)$ : $$u(-10) = (-10)^3 + 6(-10)^2 + 2 = -1000 + 600 + 2 = -398 < 0$$ Donc $u(-10) < 0$ et $u(0) = 2 > 0$, par continuité, il existe une racine $\alpha$ dans $]-10, 0[$. De plus, calculons $u(-1)$ : $$u(-1) = -1 + 6 + 2 = 7 > 0$$ Calculons $u(-2)$ : $$u(-2) = -8 + 24 + 2 = 18 > 0$$ Calculons $u(-3)$ : $$u(-3) = -27 + 54 + 2 = 29 > 0$$ Calculons $u(-5)$ : $$u(-5) = -125 + 150 + 2 = 27 > 0$$ Calculons $u(-6)$ : $$u(-6) = -216 + 216 + 2 = 2 > 0$$ Calculons $u(-7)$ : $$u(-7) = -343 + 294 + 2 = -47 < 0$$ Donc $u(-7) < 0$ et $u(-6) > 0$, donc $\alpha \in ]-7, -6[$. Pour affiner, calculons $u(-6.5)$ : $$u(-6.5) = (-6.5)^3 + 6(-6.5)^2 + 2 = -274.625 + 253.5 + 2 = -19.125 < 0$$ Calculons $u(-6.2)$ : $$u(-6.2) = -238.328 + 230.64 + 2 = -5.688 < 0$$ Calculons $u(-6.1)$ : $$u(-6.1) = -226.981 + 223.26 + 2 = -1.721 < 0$$ Calculons $u(-6.05)$ : $$u(-6.05) = -221.88 + 219.78 + 2 = -0.1 < 0$$ Calculons $u(-6.02)$ : $$u(-6.02) = -219.1 + 217.3 + 2 = 0.2 > 0$$ Donc $\alpha \approx -6.03$. 7. **Montrer que $\forall x \in ]-\infty;0[$, $u(x) < 0$ et $\forall x \in [\alpha; +\infty[$, $u(x) \geq 0$ :** - Pour $x < \alpha$, $u(x) < 0$ car $u$ est croissante sur $]-\infty, -4]$ et décroissante sur $[-4, 0]$. - Pour $x \geq \alpha$, $u(x) \geq 0$ car $u(\alpha) = 0$ et $u$ est croissante sur $[0, +\infty[$. **Réponse finale :** - La fonction $u$ admet une unique racine réelle $\alpha \approx -6.03$. - $u$ est négative sur $]-\infty, \alpha[$ et positive ou nulle sur $[\alpha, +\infty[$.