1. Énoncé du problème : Nous devons calculer $s(t\to0^+)$ et $s(t\to\infty)$ pour la fonction donnée en utilisant les théorèmes des valeurs initiale et finale. 2. La fonction est donnée en domaine de Laplace : $$S(p) = \frac{p^2 + 2p + 4}{p^3 + 3p^2 + 2}$$. 3. Théorème de la valeur initiale : $$s(0^+) = \lim_{p \to \infty} p S(p)$$. Calculons cette limite : $$\lim_{p \to \infty} p \cdot \frac{p^2 + 2p +4}{p^3 + 3p^2 + 2} = \lim_{p \to \infty} \frac{p^3 + 2p^2 + 4p}{p^3 + 3p^2 + 2}$$. 4. On divise numérateur et dénominateur par $p^3$ pour faciliter la limite : $$\lim_{p \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{p} + \frac{4}{p^2}}{1 + \frac{3}{p} + \frac{2}{p^3}} = \frac{1+0+0}{1+0+0} = 1$$. Donc, $$s(0^+) = 1$$. 5. Théorème de la valeur finale : $$s(\infty) = \lim_{p\to 0} p S(p)$$. Calculons cette limite : $$\lim_{p \to 0} p \cdot \frac{p^2 + 2p + 4}{p^3 + 3p^2 + 2} = \lim_{p \to 0} \frac{p^3 + 2p^2 + 4p}{p^3 + 3p^2 + 2}$$. 6. En remplaçant $p$ par 0, numérateur $= 0 + 0 + 0 = 0$, dénominateur $= 0 + 0 + 2 = 2$. Donc la limite vaut $0/2 = 0$. 7. Ainsi, $$s(\infty) = 0$$. Réponse finale : $$s(0^+) = 1, \quad s(\infty) = 0.$$