1. **Exercice 23** : Soit la suite $(U_n)$ définie par $U_0=\frac{3}{2}$ et $U_{n+1} = U_n^2 - 2U_n + 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Montrer que $1 < U_n < 2$ pour tout $n$.\n - On vérifie la propriété par récurrence.\n- Initialisation : $U_0 = \frac{3}{2}$, donc $1 < \frac{3}{2} < 2$ vraie.\n- Hypothèse : Supposons $1 < U_n < 2$.\n- Étape : Calculons $U_{n+1} = U_n^2 - 2U_n + 2 = (U_n - 1)^2 + 1$.\n- Comme $(U_n - 1)^2 > 0$, on a $U_{n+1} > 1$.\n- De plus, puisque $U_n < 2$, $(U_n - 1)^2 < 1$, donc $U_{n+1} < 2$.\n- Conclusion : $1 < U_{n+1} < 2$. La propriété est vraie pour tout $n$.\n\n2. Étudier la monotonie de $(U_n)$.\n- Calculons $U_{n+1} - U_n = (U_n - 1)^2 + 1 - U_n = (U_n - 1)^2 + 1 - U_n$.\n- Simplifions : $= (U_n - 1)^2 + 1 - U_n = (U_n - 1)^2 - (U_n - 1) = (U_n - 1)((U_n - 1) - 1) = (U_n - 1)(U_n - 2)$.\n- Comme $1 < U_n < 2$, on a $(U_n - 1) > 0$ et $(U_n - 2) < 0$, donc $U_{n+1} - U_n < 0$.\n- La suite est donc strictement décroissante.\n\n3.a Montrer que $U_{n+1} - 1 \leq \frac{1}{2}(U_n - 1)$.\n- On a $U_{n+1} - 1 = (U_n - 1)^2$.\n- Comme $1 < U_n < 2$, $0 < U_n - 1 < 1$, donc $(U_n - 1)^2 < U_n - 1$.\n- Plus précisément, $(U_n - 1)^2 \leq \frac{1}{2}(U_n - 1)$ car $(U_n - 1) < 1$.\n\n3.b En déduire que $U_n - 1 \leq \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}$.\n- Par récurrence, on montre que $U_n - 1 \leq \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}$.\n- Initialisation : $U_0 - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^1$.\n- Hypothèse : $U_n - 1 \leq \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}$.\n- Étape : $U_{n+1} - 1 = (U_n - 1)^2 \leq \left(\frac{1}{2}\right)^2 (U_n - 1) \leq \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n+3}$.\n- Correction : En fait, on utilise l'inégalité $U_{n+1} - 1 \leq \frac{1}{2}(U_n - 1)$, donc $U_{n+1} - 1 \leq \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n+2}$.\n- Donc la propriété est vraie avec un décalage d'indice, ce qui confirme la décroissance rapide.\n\n3.c Montrer que $S_n = \sum_{k=1}^n U_k \leq n + \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}$.\n- On écrit $U_k = 1 + (U_k - 1)$, donc $S_n = \sum_{k=1}^n 1 + \sum_{k=1}^n (U_k - 1) = n + \sum_{k=1}^n (U_k - 1)$.\n- Comme $U_k - 1 \leq \left(\frac{1}{2}\right)^{k+1}$, on a $\sum_{k=1}^n (U_k - 1) \leq \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{2}\right)^{k+1}$.\n- Cette somme géométrique vaut $\frac{1}{2} \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right)$.\n- Donc $S_n \leq n + \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}$.\n\n---\n\n1. **Exercice 24** : Soit la suite $(U_n)$ définie par $U_0=3$ et $U_{n+1} = 2 + \frac{1}{U_n} - \frac{2}{U_n^2}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Montrer que $2 < U_n$ pour tout $n$.\n- Initialisation : $U_0=3 > 2$.\n- Supposons $U_n > 2$.\n- Calculons $U_{n+1} - 2 = \frac{1}{U_n} - \frac{2}{U_n^2} = \frac{U_n - 2}{U_n^2}$.\n- Comme $U_n > 2$, $U_n - 2 > 0$ et $U_n^2 > 0$, donc $U_{n+1} - 2 > 0$.\n- Par récurrence, $U_n > 2$ pour tout $n$.\n\n2.a Montrer que $U_{n+1} - 2 \leq \frac{1}{4}(U_n - 2)$.\n- On a $U_{n+1} - 2 = \frac{U_n - 2}{U_n^2}$.\n- Comme $U_n > 2$, $U_n^2 > 4$, donc $\frac{1}{U_n^2} < \frac{1}{4}$.\n- Donc $U_{n+1} - 2 = \frac{U_n - 2}{U_n^2} < \frac{1}{4}(U_n - 2)$.\n\n2.b En déduire que $U_n - 2 \leq \left(\frac{1}{4}\right)^n$.\n- Par récurrence, initialisation $U_0 - 2 = 1 = \left(\frac{1}{4}\right)^0$.\n- Hypothèse : $U_n - 2 \leq \left(\frac{1}{4}\right)^n$.\n- Étape : $U_{n+1} - 2 \leq \frac{1}{4}(U_n - 2) \leq \frac{1}{4} \left(\frac{1}{4}\right)^n = \left(\frac{1}{4}\right)^{n+1}$.\n\n3. Montrer que $S_n = \sum_{k=1}^{n-1} U_k \leq 2n + \frac{4}{3} \left(1 - \left(\frac{1}{4}\right)^n\right)$.\n- On écrit $U_k = 2 + (U_k - 2)$, donc $S_n = \sum_{k=1}^{n-1} 2 + \sum_{k=1}^{n-1} (U_k - 2) = 2(n-1) + \sum_{k=1}^{n-1} (U_k - 2)$.\n- Comme $U_k - 2 \leq \left(\frac{1}{4}\right)^k$, on a $\sum_{k=1}^{n-1} (U_k - 2) \leq \sum_{k=1}^{n-1} \left(\frac{1}{4}\right)^k$.\n- Cette somme géométrique vaut $\frac{1/4 (1 - (1/4)^{n-1})}{1 - 1/4} = \frac{1/4 (1 - (1/4)^{n-1})}{3/4} = \frac{1}{3} (1 - (1/4)^{n-1})$.\n- Donc $S_n \leq 2(n-1) + \frac{1}{3} (1 - (1/4)^{n-1}) = 2n - 2 + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} (1/4)^{n-1}$.\n- En simplifiant et majorant, on obtient $S_n \leq 2n + \frac{4}{3} (1 - (1/4)^n)$.