1. **Énoncé du problème :** Nous avons deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par : $$\begin{cases} u_1 = 1 \\ u_{n+1} = \frac{u_n + 2 v_n}{3} \end{cases} \quad \text{et} \quad \begin{cases} v_1 = 12 \\ v_{n+1} = \frac{u_n + 3 v_n}{4} \end{cases}$$ Nous devons répondre aux questions ① à ④. --- 2. **Calcul de $u_2$, $v_2$ et $v_3$ :** - Calcul de $u_2$ : $$u_2 = \frac{u_1 + 2 v_1}{3} = \frac{1 + 2 \times 12}{3} = \frac{1 + 24}{3} = \frac{25}{3}$$ - Calcul de $v_2$ : $$v_2 = \frac{u_1 + 3 v_1}{4} = \frac{1 + 3 \times 12}{4} = \frac{1 + 36}{4} = \frac{37}{4}$$ - Calcul de $v_3$ : $$v_3 = \frac{u_2 + 3 v_2}{4} = \frac{\frac{25}{3} + 3 \times \frac{37}{4}}{4} = \frac{\frac{25}{3} + \frac{111}{4}}{4} = \frac{\frac{100}{12} + \frac{333}{12}}{4} = \frac{\frac{433}{12}}{4} = \frac{433}{48}$$ --- 3. **Définition de $w_n = v_n - u_n$ et étude de $(w_n)$ :** - Montrons que $(w_n)$ est géométrique. Calculons $w_{n+1}$ : $$w_{n+1} = v_{n+1} - u_{n+1} = \frac{u_n + 3 v_n}{4} - \frac{u_n + 2 v_n}{3}$$ Mettons au même dénominateur : $$w_{n+1} = \frac{3(u_n + 3 v_n) - 4(u_n + 2 v_n)}{12} = \frac{3 u_n + 9 v_n - 4 u_n - 8 v_n}{12} = \frac{-u_n + v_n}{12} = \frac{v_n - u_n}{12} = \frac{w_n}{12}$$ Donc : $$w_{n+1} = \frac{1}{12} w_n$$ La suite $(w_n)$ est géométrique de raison $r = \frac{1}{12}$. - Calcul de la limite : $$\lim_{n \to \infty} w_n = \lim_{n \to \infty} w_1 \left(\frac{1}{12}\right)^{n-1} = 0$$ car $|r| < 1$. --- 4. **Montrons que $(u_n)$ est croissante et $(v_n)$ décroissante :** - On a $w_n = v_n - u_n > 0$ (car $w_1 = v_1 - u_1 = 12 - 1 = 11 > 0$ et $w_n$ tend vers 0 positivement). - Montrons que $u_{n+1} - u_n > 0$ : $$u_{n+1} - u_n = \frac{u_n + 2 v_n}{3} - u_n = \frac{2 v_n - 2 u_n}{3} = \frac{2}{3} (v_n - u_n) = \frac{2}{3} w_n > 0$$ Donc $(u_n)$ est croissante. - Montrons que $v_n$ est décroissante : $$v_n - v_{n+1} = v_n - \frac{u_n + 3 v_n}{4} = \frac{4 v_n - u_n - 3 v_n}{4} = \frac{v_n - u_n}{4} = \frac{w_n}{4} > 0$$ Donc $(v_n)$ est décroissante. - De plus, $u_n < v_n$ pour tout $n$ car $w_n > 0$. - Ainsi, on a : $$u_1 \leq u_n < v_n \leq v_1$$ --- 5. **Convergence des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ :** - $(u_n)$ est croissante et majorée par $v_1$, donc convergente. - $(v_n)$ est décroissante et minorée par $u_1$, donc convergente. --- 6. **Définition de $t_n = 3 u_n + 8 v_n$ et étude :** - Montrons que $(t_n)$ est constante : $$t_{n+1} = 3 u_{n+1} + 8 v_{n+1} = 3 \times \frac{u_n + 2 v_n}{3} + 8 \times \frac{u_n + 3 v_n}{4} = (u_n + 2 v_n) + 2 (u_n + 3 v_n) = u_n + 2 v_n + 2 u_n + 6 v_n = 3 u_n + 8 v_n = t_n$$ Donc $t_n$ est constant. - Calculons $t_1$ : $$t_1 = 3 u_1 + 8 v_1 = 3 \times 1 + 8 \times 12 = 3 + 96 = 99$$ Donc $t_n = 99$ pour tout $n$. --- 7. **Expression de $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$ :** - On a $w_n = v_n - u_n = w_1 \left(\frac{1}{12}\right)^{n-1} = 11 \left(\frac{1}{12}\right)^{n-1}$. - De plus, $t_n = 3 u_n + 8 v_n = 99$. - Exprimons $v_n$ en fonction de $u_n$ et $w_n$ : $$v_n = u_n + w_n$$ - Substituons dans $t_n$ : $$3 u_n + 8 (u_n + w_n) = 99 \Rightarrow 3 u_n + 8 u_n + 8 w_n = 99 \Rightarrow 11 u_n = 99 - 8 w_n$$ - Donc : $$u_n = \frac{99 - 8 w_n}{11} = 9 - \frac{8}{11} \times 11 \left(\frac{1}{12}\right)^{n-1} = 9 - 8 \left(\frac{1}{12}\right)^{n-1}$$ - Et : $$v_n = u_n + w_n = 9 - 8 \left(\frac{1}{12}\right)^{n-1} + 11 \left(\frac{1}{12}\right)^{n-1} = 9 + 3 \left(\frac{1}{12}\right)^{n-1}$$ --- **Résumé final :** - $u_2 = \frac{25}{3}$, $v_2 = \frac{37}{4}$, $v_3 = \frac{433}{48}$. - $(w_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{12}$ et tend vers 0. - $(u_n)$ est croissante, $(v_n)$ décroissante, et $u_n < v_n$. - $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent. - $t_n = 3 u_n + 8 v_n = 99$ constant. - Expressions explicites : $$u_n = 9 - 8 \left(\frac{1}{12}\right)^{n-1}, \quad v_n = 9 + 3 \left(\frac{1}{12}\right)^{n-1}$$