1. **Énoncé du problème :** Nous avons plusieurs suites définies par récurrence ou par formule explicite, et nous devons calculer certains termes, montrer des propriétés, et calculer des sommes. --- ### Exercice 1 **I) Suite définie par récurrence :** $U_0=1$ et $U_{n+1} = 5U_n - 3$ pour tout $n \geq 0$. 1) Calcul de $U_1$, $U_2$, $U_3$ : - $U_1 = 5U_0 - 3 = 5 \times 1 - 3 = 2$ - $U_2 = 5U_1 - 3 = 5 \times 2 - 3 = 7$ - $U_3 = 5U_2 - 3 = 5 \times 7 - 3 = 32$ --- **II) Suite définie par $U_n = 3n + 2$ :** 1) Calcul de $U_0$, $U_1$, $U_{10}$ : - $U_0 = 3 \times 0 + 2 = 2$ - $U_1 = 3 \times 1 + 2 = 5$ - $U_{10} = 3 \times 10 + 2 = 32$ 2) Calcul de $U_{m+1}$ : - $U_{m+1} = 3(m+1) + 2 = 3m + 3 + 2 = 3m + 5$ 3) Calcul de $U_{n+1} - U_n$ : - $U_{n+1} - U_n = (3(n+1) + 2) - (3n + 2) = 3n + 3 + 2 - 3n - 2 = 3$ 4) Montrer que $(U_n)$ est une suite arithmétique et préciser sa raison : - La différence $U_{n+1} - U_n$ est constante égale à 3. - Donc $(U_n)$ est une suite arithmétique de raison $r=3$. 5) Calcul de $S = U_0 + U_1 + ... + U_{10}$ : - La somme des $n+1$ premiers termes d'une suite arithmétique est $$S = (n+1) \times \frac{U_0 + U_n}{2}$$ - Ici, $n=10$, $U_0=2$, $U_{10}=32$ - Donc $$S = 11 \times \frac{2 + 32}{2} = 11 \times 17 = 187$$ --- ### Exercice 2 **1) Suite définie par récurrence :** $U_0=3$ et $U_{n+1} = 2 + 4U_n$ pour tout $n \geq 0$. Calcul de $U_1$, $U_2$, $U_3$ : - $U_1 = 2 + 4 \times 3 = 2 + 12 = 14$ - $U_2 = 2 + 4 \times 14 = 2 + 56 = 58$ - $U_3 = 2 + 4 \times 58 = 2 + 232 = 234$ --- **II) Suite géométrique définie par :** $V_n = 5 \times 3^n$ 1) Calcul de $V_0$, $V_1$, $V_4$ : - $V_0 = 5 \times 3^0 = 5 \times 1 = 5$ - $V_1 = 5 \times 3^1 = 5 \times 3 = 15$ - $V_4 = 5 \times 3^4 = 5 \times 81 = 405$ 2) Calcul de $V_{n+1}$ : - $V_{n+1} = 5 \times 3^{n+1} = 5 \times 3^n \times 3 = 3 \times V_n$ 3) Montrer que $(V_n)$ est géométrique et préciser sa raison : - Le rapport $\frac{V_{n+1}}{V_n} = 3$ est constant. - Donc $(V_n)$ est une suite géométrique de raison $q=3$. 4) Calcul de $S = V_0 + V_1 + ... + V_8$ : - La somme des $n+1$ premiers termes d'une suite géométrique est $$S = V_0 \times \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$$ - Ici, $n=8$, $V_0=5$, $q=3$ - Donc $$S = 5 \times \frac{1 - 3^{9}}{1 - 3} = 5 \times \frac{1 - 19683}{-2} = 5 \times \frac{-19682}{-2} = 5 \times 9841 = 49205$$