1. **Énoncé du problème :** Déterminer les trois premiers termes des suites données et étudier leurs propriétés. --- **Exercice 1 :** a. La suite est définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = n^2 - n + 2$. - Calcul des trois premiers termes : $$u_0 = 0^2 - 0 + 2 = 2$$ $$u_1 = 1^2 - 1 + 2 = 1 - 1 + 2 = 2$$ $$u_2 = 2^2 - 2 + 2 = 4 - 2 + 2 = 4$$ b. La suite est définie par : $$u_0 = 1$$ $$u_{n+1} = 2u_n + 3$$ Calculons les trois premiers termes : $$u_0 = 1$$ $$u_1 = 2 imes 1 + 3 = 5$$ $$u_2 = 2 imes 5 + 3 = 13$$ --- **Exercice 2 :** Suite arithmétique avec raison $r$. a. Avec $u_0 = -10$ et raison $r=4$ : - Expression générale : $$u_n = u_0 + nr = -10 + 4n$$ - Calcul de $u_{100}$ : $$u_{100} = -10 + 4 imes 100 = -10 + 400 = 390$$ b. Avec $u_1 = 7$ et raison $r = -2$ : - On peut exprimer $u_n$ en fonction de $u_0$ : $$u_1 = u_0 + r = u_0 - 2 = 7 \\ \Rightarrow u_0 = 9$$ Donc, $$u_n = u_0 + nr = 9 - 2n$$ - Calcul de $u_{100}$ (au besoin) : $$u_{100} = 9 - 2 imes 100 = 9 - 200 = -191$$ --- **Exercice 3 :** Donné les points : $(0, 2), (1, 0), (2, -1), (3, -2), (4, -4)$. a. Trouver $u_0$ et la raison $r$. - $u_0 = 2$ (coordonnée à $n=0$). - Calcul de la raison $r$ : $$r = u_1 - u_0 = 0 - 2 = -2$$ Vérification : $$u_2 - u_1 = -1 - 0 = -1 eq -2$$ On remarque un désaccord ici, re-vérifions les points : - $u_1=0$, $u_2=-1$ ce qui donne $-1 - 0 = -1$ différence qui n'est pas égale à $-2$. - $u_3 - u_2 = -2 - (-1) = -1$. - $u_4 - u_3 = -4 - (-2) = -2$. Il semble que la ration n'est pas constante. Mais la consigne dit que c'est une suite arithmétique. On vérifiera le texte : points donnés et contexte indiquent une erreur de lecture ou valeurs. Puisque la consigne dit "suite arithmétique décroissante", supposons que la raison est constante à $r = -1$ (car la différence la plus fréquente est -1). Vérifions : - $0 - 2 = -2$ (différent) Cela suggère que $r = -1$ est plus cohérent pour les points de $n=1$ à $4$, mais le passage de 2 à 0 est $-2$. Donc il y a une discordance, peut-être une erreur dans la transcription. Hypothèse : $u_0 = 2$, raison $r = -1$. b. Expression de $u_n$ : $$u_n = u_0 + nr = 2 - n$$ --- **Exercice 4 :** Suite définie par : $$u_n = 12 - 3n$$ a. Calcul des termes : $$u_0 = 12 - 3 imes 0 = 12$$ $$u_1 = 12 - 3 imes 1 = 9$$ $$u_2 = 12 - 3 imes 2 = 6$$ b. Justification et raison : - La suite est de la forme $u_n = a + bn$ donc arithmétique. - La raison est $r = u_{n+1} - u_n = (12 - 3(n+1)) - (12 - 3n) = -3$. c. Sens de variation: - Puisque $r = -3 < 0$, la suite est décroissante. d. Trouver le rang $n$ tel que : $$u_n < -60$$ $$12 - 3n < -60$$ $$-3n < -72$$ $$n > 24$$ Donc à partir de $n=25$ la suite est inférieure à $-60$. --- **Exercice 5 :** Évolution d'un capital placé à intérêts simples : - La somme augmente chaque année d'un montant fixe égal à $capitale imes taux$. - Cela correspond à une suite arithmétique car la différence entre deux termes consécutifs est constante. Définition du capital : - Capital initial en 2023 : $u_0 = 4000$ euros - Taux annuel : 5 % soit 0,05 a. Nature de la suite : - C'est une suite arithmétique avec : $$r = 4000 imes 0.05 = 200$$ - Premier terme : $$u_0 = 4000$$ b. Expression générale : $$u_n = u_0 + nr = 4000 + 200n$$ c. Somme en 2030 : - Année 2030 correspond à $n = 2030 - 2023 = 7$ $$u_7 = 4000 + 200 imes 7 = 4000 + 1400 = 5400$$ d. Année où $u_n = 8000$ : $$8000 = 4000 + 200n$$ $$200n = 4000$$ $$n = 20$$ Année correspondante : $$2023 + 20 = 2043$$