1. **Énoncé du problème :** Alex emprunte pour isoler ses combles. La première mensualité est de 250000 F CFA, et chaque mois, la mensualité diminue de 5% par rapport au mois précédent. On note $U_n$ la mensualité du $n^{\text{ème}}$ mois. 2. **Calcul des mensualités des 2e, 3e et 4e mois :** - La mensualité diminue de 5%, donc chaque mois on multiplie par $0{,}95$ (car $100\%-5\%=95\%=0{,}95$). - $U_1=250000$ - $U_2=U_1 \times 0{,}95=250000 \times 0{,}95=237500$ - $U_3=U_2 \times 0{,}95=237500 \times 0{,}95=225625$ - $U_4=U_3 \times 0{,}95=225625 \times 0{,}95=214343{,}75$ 3. **Type de suite :** - Une suite arithmétique a une différence constante entre deux termes consécutifs. - Une suite géométrique a un rapport constant entre deux termes consécutifs. - Ici, chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par $0{,}95$, donc c'est une suite géométrique. 4. **Formule générale de $U_n$ :** - La suite géométrique est définie par $U_n=U_1 \times q^{n-1}$ où $q$ est le rapport. - Ici, $q=0{,}95$ et $U_1=250000$. - Donc $$U_n=250000 \times 0{,}95^{n-1}$$ 5. **Vérification du coût total du crédit :** - Le coût total est la somme des mensualités sur 36 mois : $$S_{36}=U_1 \times \frac{1-q^{36}}{1-q}$$ - Calculons : $$S_{36}=250000 \times \frac{1-0{,}95^{36}}{1-0{,}95}=250000 \times \frac{1-0{,}95^{36}}{0{,}05}$$ - Calculons $0{,}95^{36}$ approximativement : $0{,}95^{36} \approx 0{,}174$ - Donc $$S_{36} \approx 250000 \times \frac{1-0{,}174}{0{,}05}=250000 \times \frac{0{,}826}{0{,}05}=250000 \times 16{,}52=4 130 000$$ - Le total est environ 4 130 000 F CFA, ce qui est inférieur à 4 250 000 F CFA. **Conclusion :** Le crédit choisi convient car le total des mensualités est inférieur à la limite fixée.