1. **Énoncé du problème** : Considérons la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $u_0=4$ et $u_{n+1} = 4 - \frac{u_n}{3}$. On pose $v_n = u_n - 3$. 2. **Montrer que $(v_n)$ est géométrique, déterminer $v_0$ et la raison $q$** : Calculons $v_0 = u_0 - 3 = 4 - 3 = 1$. Pour $n \geq 0$ : $$v_{n+1} = u_{n+1} - 3 = \left(4 - \frac{u_n}{3}\right) - 3 = 1 - \frac{u_n}{3} = 1 - \frac{v_n + 3}{3} = 1 - \frac{v_n}{3} - 1 = -\frac{v_n}{3}.$$ Donc, $$v_{n+1} = -\frac{1}{3} v_n,$$ ce qui montre que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $$q = -\frac{1}{3}$$ et de premier terme $$v_0 = 1.$$ 3. **Exprimer $v_n$ et $u_n$ en fonction de $n$** : Pour une suite géométrique, $$v_n = v_0 q^n = \left(-\frac{1}{3}\right)^n.$$ Puis, $$u_n = v_n + 3 = 3 + \left(-\frac{1}{3}\right)^n.$$ 4. **Convergence des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ et leurs limites** : Comme $|q| = \frac{1}{3} < 1$, $(v_n)$ converge vers 0. Donc, $$\lim_{n \to \infty} v_n = 0.$$ Par conséquent, $$\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} (v_n + 3) = 3.$$ 5. **Calcul des sommes $S_n$ et $T_n$** : La somme des termes de $(v_n)$ est une somme géométrique : $$S_n = \sum_{k=0}^n v_k = \sum_{k=0}^n \left(-\frac{1}{3}\right)^k = \frac{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^{n+1}}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)} = \frac{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^{n+1}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^{n+1}}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4} \left(1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^{n+1}\right).$$ Pour $T_n = \sum_{k=0}^n u_k$, on utilise $u_k = v_k + 3$ : $$T_n = \sum_{k=0}^n u_k = \sum_{k=0}^n (v_k + 3) = \sum_{k=0}^n v_k + \sum_{k=0}^n 3 = S_n + 3(n+1).$$ Donc, $$T_n = \frac{3}{4} \left(1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^{n+1}\right) + 3(n+1).$$ 6. **Limites de $S_n$ et $T_n$ quand $n \to \infty$** : Comme $\lim_{n \to \infty} \left(-\frac{1}{3}\right)^{n+1} = 0$, on a : $$\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{3}{4} (1 - 0) = \frac{3}{4}.$$ Pour $T_n$, la limite est : $$\lim_{n \to \infty} T_n = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{4} \left(1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^{n+1}\right) + 3(n+1)\right) = +\infty,$$ car $3(n+1)$ tend vers l'infini. 7. **Montrer que $(w_n)$ est arithmétique avec $w_n = \ln|v_n|$** : On a $$w_n = \ln \left| \left(-\frac{1}{3}\right)^n \right| = \ln \left( \left| -\frac{1}{3} \right|^n \right) = \ln \left( \frac{1}{3}^n \right) = n \ln \frac{1}{3}.$$ C'est une suite arithmétique de raison $$r = \ln \frac{1}{3}$$ et de premier terme $$w_0 = 0.$$