1. **Exercice 1** Soit la suite arithmétique $(U_n)$ définie par $U_0=1$ et raison $r=2$. 1) La variation de la suite est déterminée par le signe de la raison $r$. Puisque $r=2>0$, la suite $(U_n)$ est strictement croissante. 2) La formule explicite de la suite arithmétique est $$U_n = U_0 + n r = 1 + 2n$$ 3) a) Pour trouver $n$ tel que $U_n=99$, on résout $$1 + 2n = 99 \implies 2n = 98 \implies n = 49$$ b) La somme $S = U_0 + U_1 + \cdots + U_{50}$ est la somme des 51 premiers termes. La formule de la somme d'une suite arithmétique est $$S = \frac{(n+1)(U_0 + U_n)}{2}$$ Ici, $n=50$, donc $$U_{50} = 1 + 2 \times 50 = 101$$ Donc $$S = \frac{51(1 + 101)}{2} = \frac{51 \times 102}{2} = 51 \times 51 = 2601$$ Mais l'énoncé demande de prouver que $S=2499$, il faut vérifier si $n=49$ ou $n=50$. Si on prend $n=49$, alors $$U_{49} = 1 + 2 \times 49 = 99$$ et $$S = \frac{50(1 + 99)}{2} = 25 \times 100 = 2500$$ Donc il y a une petite différence, peut-être une erreur dans l'énoncé. Si on considère $n=49$, la somme est $2500$, proche de $2499$. 2. **Exercice 2** La suite $(U_n)$ est définie par $U_0=2$ et $$U_{n+1} = \frac{5U_n - 1}{U_n + 3}$$ On pose $$V_n = \frac{1}{U_n + 3}$$ 1) Montrons que $(V_n)$ est arithmétique. Calculons $V_{n+1}$: $$V_{n+1} = \frac{1}{U_{n+1} + 3} = \frac{1}{\frac{5U_n - 1}{U_n + 3} + 3} = \frac{1}{\frac{5U_n - 1 + 3(U_n + 3)}{U_n + 3}} = \frac{U_n + 3}{5U_n - 1 + 3U_n + 9} = \frac{U_n + 3}{8U_n + 8}$$ Simplifions: $$V_{n+1} = \frac{U_n + 3}{8(U_n + 1)} = \frac{1}{8} \times \frac{U_n + 3}{U_n + 1}$$ Mais $$V_n = \frac{1}{U_n + 3}$$ On cherche une relation entre $V_{n+1}$ et $V_n$. En fait, il est plus simple de réécrire la relation initiale en fonction de $V_n$. De $V_n = \frac{1}{U_n + 3}$, on a $$U_n = \frac{1}{V_n} - 3$$ Substituons dans la relation de $U_{n+1}$: $$U_{n+1} = \frac{5U_n - 1}{U_n + 3} = \frac{5(\frac{1}{V_n} - 3) - 1}{\frac{1}{V_n} - 3 + 3} = \frac{5\frac{1}{V_n} - 15 - 1}{\frac{1}{V_n}} = \frac{\frac{5}{V_n} - 16}{\frac{1}{V_n}} = 5 - 16 V_n$$ Donc $$U_{n+1} = 5 - 16 V_n$$ Mais $$V_{n+1} = \frac{1}{U_{n+1} + 3} = \frac{1}{5 - 16 V_n + 3} = \frac{1}{8 - 16 V_n}$$ On a donc $$V_{n+1} = \frac{1}{8 - 16 V_n}$$ Cette relation n'est pas linéaire, donc $(V_n)$ n'est pas arithmétique. Il semble y avoir une erreur dans l'énoncé ou une autre méthode est attendue. 3. **Problème** La fonction est $$f(x) = \ln(x + 1)$$ 1) L'ensemble de définition est $]-1, +\infty[$ car $x+1 > 0$. 2) Calcul des limites: $$\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} \ln(x+1) = \ln(0^+) = -\infty$$ $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$$ 3) Dérivée en 0: $$f'(x) = \frac{1}{x+1} \implies f'(0) = 1$$ 4) Dérivée générale: $$f'(x) = \frac{1}{x+1}$$ Le signe de $f'(x)$ est positif sur $]-1, +\infty[$, donc $f$ est strictement croissante. Tableau de variation: $$\begin{array}{c|cc} x & -1 & +\infty \\ f'(x) & + & + \\ f(x) & -\infty & +\infty \\ \end{array}$$ 5) La courbe $(C)$ est strictement croissante sur $]-1, +\infty[$. 6) Équation de la tangente en $x=0$: $$y = f(0) + f'(0)(x - 0) = 0 + 1 \times x = x$$ 7) Asymptote verticale en $x = -1$. La tangente est la droite $y = x$. La courbe est $y = \ln(x+1)$. --- **Réponses finales:** - Exercice 1: $(U_n)$ croissante, $U_n = 1 + 2n$, $n=49$ pour $U_n=99$, somme $S = 2601$ pour $n=50$. - Exercice 2: problème avec la suite $(V_n)$, la relation donnée ne montre pas une suite arithmétique. - Problème: domaine $]-1, +\infty[$, limites $-\infty$ et $+\infty$, dérivée $f'(x) = \frac{1}{x+1}$, fonction croissante, tangente en 0: $y=x$, asymptote verticale $x=-1$.