1. **Énoncé du problème :** Nous avons trois suites numériques définies par différentes formules et nous devons calculer certains termes, expressions, et propriétés. --- ### Partie I : Suite définie par récurrence 2. **Données :** $U_0 = 1$ et $U_{n+1} = 5U_n - 3$ 3. **Calcul de $U_1$, $U_2$, $U_3$ :** - $U_1 = 5U_0 - 3 = 5 \times 1 - 3 = 2$ - $U_2 = 5U_1 - 3 = 5 \times 2 - 3 = 7$ - $U_3 = 5U_2 - 3 = 5 \times 7 - 3 = 32$ --- ### Partie II : Suite définie explicitement 4. **Données :** $U_m = 3m + 2$ 5. **Calcul de $U_0$, $U_1$, $U_{10}$ :** - $U_0 = 3 \times 0 + 2 = 2$ - $U_1 = 3 \times 1 + 2 = 5$ - $U_{10} = 3 \times 10 + 2 = 32$ 6. **Calcul de $U_{m+1}$ :** - $U_{m+1} = 3(m+1) + 2 = 3m + 3 + 2 = 3m + 5$ --- ### Partie III : Suite géométrique 7. **Données :** $V_n = 5 \times 3^n$ 8. **Calcul de $V_0$, $V_1$, $V_4$ :** - $V_0 = 5 \times 3^0 = 5 \times 1 = 5$ - $V_1 = 5 \times 3^1 = 5 \times 3 = 15$ - $V_4 = 5 \times 3^4 = 5 \times 81 = 405$ 9. **Calcul de $V_{n+1}$ :** - $V_{n+1} = 5 \times 3^{n+1} = 5 \times 3^n \times 3 = 3 \times V_n$ 10. **Montrer que $V_n$ est géométrique et préciser sa raison :** - Une suite $(V_n)$ est géométrique si $\frac{V_{n+1}}{V_n}$ est constant. - Ici, $\frac{V_{n+1}}{V_n} = \frac{3 \times V_n}{V_n} = 3$. - Donc, $V_n$ est géométrique de raison $q = 3$. 11. **Calcul de la somme $S = V_0 + V_1 + ... + V_8$ :** - La somme des $n+1$ premiers termes d'une suite géométrique est $$S = V_0 \times \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$$ - Ici, $n=8$, $V_0=5$, $q=3$ donc $$S = 5 \times \frac{1 - 3^{9}}{1 - 3} = 5 \times \frac{1 - 19683}{-2} = 5 \times \frac{-19682}{-2} = 5 \times 9841 = 49205$$ --- **Réponses finales :** - $U_1=2$, $U_2=7$, $U_3=32$ - $U_0=2$, $U_1=5$, $U_{10}=32$ - $U_{m+1} = 3m + 5$ - $V_0=5$, $V_1=15$, $V_4=405$ - $V_{n+1} = 3V_n$ - $V_n$ est géométrique de raison $3$ - $S = 49205$