1. **Énoncé du problème :** La production d'une entreprise augmente chaque année d'une quantité constante. En 2005, la production est de 20 500 tonnes, et en 2008, elle est de 22 000 tonnes. On considère que la production suit une suite arithmétique. 2. **Formule utilisée :** Pour une suite arithmétique, le terme général est donné par $$U_n = U_1 + (n-1)r$$ où $U_1$ est le premier terme et $r$ la raison. 3. **Détermination de $U_1$ et $r$ :** - L'année 2000 correspond à $n=1$. - 2005 correspond à $n=6$ avec $U_6 = 20500$. - 2008 correspond à $n=9$ avec $U_9 = 22000$. On a donc : $$U_6 = U_1 + 5r = 20500$$ $$U_9 = U_1 + 8r = 22000$$ Soustrayons la première équation de la deuxième : $$U_9 - U_6 = (U_1 + 8r) - (U_1 + 5r) = 3r = 22000 - 20500 = 1500$$ Donc : $$r = \frac{1500}{3} = 500$$ Puis, substituons $r$ dans la première équation : $$U_1 + 5 \times 500 = 20500 \Rightarrow U_1 = 20500 - 2500 = 18000$$ 4. **Terme général et calculs :** Le terme général est : $$U_n = 18000 + (n-1) \times 500 = 18000 + 500n - 500 = 17500 + 500n$$ Calculons la production en : - 2010 ($n=11$) : $$U_{11} = 17500 + 500 \times 11 = 17500 + 5500 = 23000$$ - 2015 ($n=16$) : $$U_{16} = 17500 + 500 \times 16 = 17500 + 8000 = 25500$$ - 2014 ($n=15$) : $$U_{15} = 17500 + 500 \times 15 = 17500 + 7500 = 25000$$ 5. **Calcul du total de la production entre 2000 et 2014 :** Le total est la somme des termes de $n=1$ à $n=15$. La somme d'une suite arithmétique est : $$S_n = \frac{n}{2} (U_1 + U_n)$$ Ici : $$S_{15} = \frac{15}{2} (18000 + 25000) = \frac{15}{2} \times 43000 = 15 \times 21500 = 322500$$ **Réponse finale :** - Premier terme $U_1 = 18000$ tonnes - Raison $r = 500$ tonnes - Terme général $U_n = 17500 + 500n$ - Production en 2010 : 23000 tonnes - Production en 2015 : 25500 tonnes - Production en 2014 : 25000 tonnes - Total production 2000-2014 : 322500 tonnes