1. **Exercice 1** **Problème :** On a une suite arithmétique $(U_n)$ avec $U_3=71$ et $U_{15}=227$. **a. Calculer la somme $S = U_7 + U_{12} + U_{15} + \dots + U_{103}$.** 1. Trouvons la raison $r$ de la suite arithmétique. On sait que $U_n = U_m + (n-m)r$. $$227 = 71 + (15-3)r \Rightarrow 227 = 71 + 12r \Rightarrow 12r = 156 \Rightarrow r = 13$$ 2. Exprimons $U_n$ : $$U_n = U_3 + (n-3)r = 71 + 13(n-3) = 13n + 32$$ 3. La somme $S$ est la somme des termes $U_7, U_{12}, U_{15}, \dots, U_{103}$. On remarque que les indices ne forment pas une progression arithmétique régulière, mais la question semble ambiguë. Supposons que la somme soit des termes de $U_7$ à $U_{103}$ avec un pas de 5 (car $7,12,15,...$ ne suit pas un pas constant, mais $7,12,17,...$ serait un pas de 5). Vu l'énoncé, on prend la somme des termes $U_7, U_{12}, U_{15}, \dots, U_{103}$ en considérant tous les termes de $7$ à $103$. 4. Calculons la somme des termes de $U_7$ à $U_{103}$ : Nombre de termes : $103 - 7 + 1 = 97$ Somme : $$S = \sum_{n=7}^{103} U_n = \sum_{n=7}^{103} (13n + 32) = 13 \sum_{n=7}^{103} n + 32 \times 97$$ Calcul de $\sum_{n=7}^{103} n$ : $$\sum_{n=1}^{103} n - \sum_{n=1}^{6} n = \frac{103 \times 104}{2} - \frac{6 \times 7}{2} = 5356 - 21 = 5335$$ Donc : $$S = 13 \times 5335 + 32 \times 97 = 69355 + 3104 = 72459$$ **b. Calculer l'expression de la suite $(U_n)$.** Déjà trouvée : $$U_n = 13n + 32$$ **c. Démontrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $U_n = \left(\frac{6}{5}\right)^{2^n}$.** Cette affirmation est fausse car $U_n$ est une suite arithmétique et $\left(\frac{6}{5}\right)^{2^n}$ est une suite exponentielle. Donc cette égalité ne tient pas. **d. Exprimer $U_n$ en fonction de $n$.** Déjà fait : $$U_n = 13n + 32$$ 2. **Suite $(V_n)$ définie par $V_n = \frac{n!}{n}$.** **a. Démontrer que $V_{n+1} = (6 - n) V_n$.** Calculons : $$V_{n+1} = \frac{(n+1)!}{n+1} = \frac{(n+1) n!}{n+1} = n! = n \times (n-1)!$$ L'égalité $V_{n+1} = (6-n) V_n$ ne semble pas correcte avec cette définition. Peut-être une erreur dans l'énoncé. **b. Calculer $S = V_0 + V_1 + \dots + V_{12}$.** Calculons chaque terme : - $V_0 = \frac{0!}{0}$ est indéfini, donc on commence à $n=1$. - $V_1 = \frac{1!}{1} = 1$ - $V_2 = \frac{2!}{2} = 1$ - $V_3 = \frac{6}{3} = 2$ - $V_4 = \frac{24}{4} = 6$ - $V_5 = \frac{120}{5} = 24$ - $V_6 = \frac{720}{6} = 120$ - $V_7 = \frac{5040}{7} = 720$ - $V_8 = \frac{40320}{8} = 5040$ - $V_9 = \frac{362880}{9} = 40320$ - $V_{10} = \frac{3628800}{10} = 362880$ - $V_{11} = \frac{39916800}{11} = 3628800$ - $V_{12} = \frac{479001600}{12} = 39916800$ Somme : $$S = 1 + 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + 5040 + 40320 + 362880 + 3628800 + 39916800$$ $$S = 43917114$$ 3. **Exercice 2** **1) Suite $(U_n)$ définie par $U_n = \frac{1}{n^2}$.** **a) Calculer les trois premiers termes :** $$U_1 = 1, U_2 = \frac{1}{4}, U_3 = \frac{1}{9}$$ **b) Exprimer $U_n$ en fonction de $n$ :** $$U_n = \frac{1}{n^2}$$ **c) Vérifier que la raison de $(U_n)$ est égale à 8.** La suite n'est pas géométrique, donc la raison n'existe pas. Cette affirmation est fausse. **d) Calculer la somme $S = V_1 + V_2 + \dots + V_{12}$.** Pas de définition claire de $V_n$ ici, donc pas calculable. 4. **Exercice 4** **1- Suite arithmétique $(U_n)$ avec $U_0 = -1$ et raison $r=3$.** **a) Exprimer $U_n$ :** $$U_n = U_0 + nr = -1 + 3n$$ **b) Trouver $n$ tel que $U_n = 59$ :** $$59 = -1 + 3n \Rightarrow 3n = 60 \Rightarrow n = 20$$ **c) Calculer la somme $S = U_1 + U_2 + \dots + U_{20}$.** $$U_1 = 2, U_{20} = -1 + 3 \times 20 = 59$$ Nombre de termes : 20 Somme : $$S = \frac{20}{2} (2 + 59) = 10 \times 61 = 610$$ 5. **Exercice 5** Suite arithmétique $(U_n)$ avec $U_0 = 1$ et raison $r = -2$. **1) Exprimer $U_n$ :** $$U_n = 1 - 2n$$ **2a) Trouver $n$ tel que $U_n = -2499$ :** $$-2499 = 1 - 2n \Rightarrow -2500 = -2n \Rightarrow n = 1250$$ **2b) Soit $S = U_1 + \dots + U_9$. Montrer que $S = -2499$.** Calculons $S$ : $$U_1 = 1 - 2 = -1, U_9 = 1 - 18 = -17$$ Nombre de termes : 9 Somme : $$S = \frac{9}{2} (U_1 + U_9) = \frac{9}{2} (-1 - 17) = \frac{9}{2} (-18) = -81$$ Donc $S \neq -2499$, il y a une erreur dans l'énoncé. 6. **Exercice 6** Suite arithmétique $(U_n)$ avec $U_1 = -26$ et $U_{20} = 55$. **1. Calculer la somme $S = U_1 + \dots + U_{20}$.** Nombre de termes : 20 Somme : $$S = \frac{20}{2} (U_1 + U_{20}) = 10 \times (-26 + 55) = 10 \times 29 = 290$$ **2. Déterminer la raison $r$ :** $$U_{20} = U_1 + 19r \Rightarrow 55 = -26 + 19r \Rightarrow 19r = 81 \Rightarrow r = \frac{81}{19}$$ **3. Exprimer $U_n$ :** $$U_n = U_1 + (n-1)r = -26 + (n-1) \times \frac{81}{19}$$ **4. Pour $V_n = -3^n - 5$, calculer $V_4$ et $V_7$ :** $$V_4 = -3^4 - 5 = -81 - 5 = -86$$ $$V_7 = -3^7 - 5 = -2187 - 5 = -2192$$