1. **Énoncé:** Soit la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = u_1 = 1\) et \(u_{n+2} = u_{n+1} + u_n\) pour \(n \geq 0\). Montrer que pour tout entier \(n \geq 2\), \(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n-2} \leq u_n \leq n!\). 2. **Solution pour la borne inférieure:** - La suite \((u_n)\) est la suite de Fibonacci classique à décalage près. - La formule de Binet donne \(u_n = \frac{\phi^{n+1} - (-\phi)^{-n-1}}{\sqrt{5}}\) où \(\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\). - Pour \(n \geq 2\), on a \(u_n \geq \phi^{n-2}\) car le terme négatif est négligeable et \(\phi^{n-2} \leq u_n\). 3. **Solution pour la borne supérieure:** - Preuve par récurrence : - \(u_0 = 1 \leq 1!\), \(u_1 = 1 \leq 1!\). - Supposons \(u_k \leq k!\) et \(u_{k+1} \leq (k+1)!\) pour tout \(k < n\). - Alors \(u_{n+2} = u_{n+1} + u_n \leq (n+1)! + n! = n!((n+1) + 1) \leq (n+2)!\) car \((n+2)! = (n+2)(n+1)! \geq (n+1)! + n!\). 4. **Conclusion:** Pour tout \(n \geq 2\), \(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n-2} \leq u_n \leq n!\). \n 1. (a) **Énoncé:** Montrer qu'il existe des réels \(a, b\) tels que \(\forall x > 0, \frac{1}{x(x+1)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x+1}\). 2. **Décomposition en éléments simples:** - Posons \(\frac{1}{x(x+1)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x+1}\). - Multiplier par \(x(x+1)\) donne \(1 = a(x+1) + bx = (a+b)x + a\). - Égalité des coefficients : \(a + b = 0\) et \(a = 1\). - D'où \(a = 1\), \(b = -1\). 3. (b) **En déduire l'existence d'une décomposition entière:** - Pour \(n \geq 3\), on écrit \(1 = \sum_{k=1}^n \frac{1}{x_k}\) avec \(x_k\) distincts naturels. - En utilisant la décomposition précédente plusieurs fois, on obtient des sommes de fractions unitaires distinctes égales à 1. \n 1. **Énoncé:** Trouver toutes les applications \(f : \mathbb{Q} \to \mathbb{R}\) telles que \(f(x+y) = f(x) + f(y)\) pour tout \(x,y \in \mathbb{Q}\). 2. **Solution:** - La relation est celle d'un morphisme additif sur les rationnels. - Toute fonction additive sur \(\mathbb{Q}\) est de la forme \(f(x) = cx\) où \(c = f(1) \in \mathbb{R}\). \n 4. (a) **Énoncé:** Chercher toutes les fonctions \(f: \mathbb{Q} \to \mathbb{R}\) telles que \(f(x+y) = f(x) \cdot f(y)\). (b) **Solution:** - i. Montrons que \(f(x) \geq 0\) pour tout \(x\). - Posons \(y = -x\). Alors \(f(x+y) = f(0) = f(x)f(-x)\). - Comme \(0 = x + (-x)\), \(f(0) = f(x)f(-x)\). - Donc, \(f(0) \geq 0\). Posons \(c = f(0)\). - ii. Si \(c = 0\), alors \(f(x)f(-x) = 0\) pour tout \(x\). En prenant \(x=0\), on a \(f(0) = 0\). Par ailleurs, \(f(0) = f(x+(-x)) = f(x)f(-x) = 0\). - Donc, \(f(x) = 0\) pour tout \(x\) (en supposant continuité ou autre hypothèse pour éviter cas pathologiques). - iii. Si \(c \neq 0\), alors \(f(0) = 1\) car \(f(x+0) = f(x)f(0) \Rightarrow f(0)=1\). - iv. Utilisant la question 3, posons \(g(x) = \ln f(x)\). Alors \(g(x+y) = g(x) + g(y)\), donc \(g\) est une fonction additive. D'après (3), \(g(x) = kx\). - Donc, \(f(x) = e^{kx}\) avec un certain \(k \in \mathbb{R}\). 4. (b) **Conclusion:** Les solutions sont \(f=0\) fonction nulle, ou \(f(x) = e^{kx}\) pour un réel \(k\). \n 5. **Énoncé:** Montrer que pour \(f: E \to F\), \(f\) est injective si et seulement si \(\forall A,B \subseteq E, f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)\). 1. **Problème Cantor-Bernstein:** Soit \(X \subseteq Z \subseteq Y\) avec une bijection \(f: Y \to X\). Posons \(A = \bigcup_{n \in \mathbb{N}^*} f^n(Z \setminus X)\). (a) Montrer \(f((Z \setminus X) \cup A) = A\) et \(Z = ((Z \setminus X) \cup A) \cup (X \setminus A)\). (b) Construire \(g: Z \to X\) par \(g(a) = f(a)\) si \(a \in (Z \setminus X) \cup A\), sinon \(g(a) = a\). Montrer que \(g\) est bijective et conclure que \(X\) et \(Z\) sont en bijection. --- Slugs: "suite fibonaccienne", "fraction decompo", "fonction additive", "fonction multiplicative", "injectivite image", "cantor bernstein". Sujet principal: "mathématiques". Desmos minimal pour vérification triviale car pas de graphique.