1. Le problème consiste à comprendre ce qu'est la stabilité en mathématiques ou en physique, souvent liée à la capacité d'un système à revenir à un état d'équilibre après une perturbation. 2. En général, on utilise la notion de stabilité d'un point d'équilibre d'un système dynamique. Un point d'équilibre est stable si, pour toute petite perturbation initiale, la solution reste proche de ce point pour tout temps futur. 3. La formule clé pour analyser la stabilité est souvent liée à la dérivée ou au jacobien du système. Par exemple, pour un système différentiel $\dot{x} = f(x)$, un point d'équilibre $x_0$ est stable si toutes les valeurs propres de la matrice jacobienne $J = \frac{\partial f}{\partial x}|_{x_0}$ ont des parties réelles négatives. 4. Important : - Si une valeur propre a une partie réelle positive, le point est instable. - Si toutes les parties réelles sont strictement négatives, le point est asymptotiquement stable. - Si certaines parties réelles sont nulles, il faut une analyse plus fine. 5. Exemple simple : pour $\dot{x} = ax$, le point d'équilibre est $x=0$. La stabilité dépend du signe de $a$. - Si $a<0$, $x=0$ est stable. - Si $a>0$, $x=0$ est instable. 6. En résumé, la stabilité décrit la capacité d'un système à rester ou revenir à un état d'équilibre après une perturbation, analysée via les valeurs propres du jacobien ou la dérivée du système.