1. Le problème consiste à comprendre ce que sont les sous-ensembles de $\mathbb{R}$, l'ensemble des nombres réels. 2. Un sous-ensemble de $\mathbb{R}$ est un ensemble dont tous les éléments sont des nombres réels. 3. Formellement, un ensemble $A$ est un sous-ensemble de $\mathbb{R}$ si $\forall x \in A, x \in \mathbb{R}$. 4. Par exemple, l'ensemble des nombres positifs $\{x \in \mathbb{R} : x > 0\}$ est un sous-ensemble de $\mathbb{R}$. 5. De même, l'ensemble des entiers $\mathbb{Z}$ est un sous-ensemble de $\mathbb{R}$ car tous les entiers sont des réels. 6. Il existe aussi des sous-ensembles plus complexes, comme les intervalles $[a,b]$, $]a,b[$, $[a,b[$, etc., qui contiennent tous les réels entre $a$ et $b$ selon les bornes incluses ou exclues. 7. Comprendre les sous-ensembles de $\mathbb{R}$ est fondamental en analyse et en algèbre pour étudier les propriétés des fonctions, des suites, et des espaces. 8. En résumé, un sous-ensemble de $\mathbb{R}$ est simplement un ensemble formé uniquement de nombres réels, et il peut être fini, infini, discret ou continu selon sa définition.