1. Énonçons le problème : Montrer que l'expression $$u(x,t) = A(ct - x)^{-B(ct - x)}$$ est une solution de l'équation d'onde plane $$\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = c^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$$. 2. Posons $$z = ct - x$$, alors $$u(x,t) = A z^{-B z}$$. 3. Calculons la dérivée partielle première par rapport à $$t$$ : $$\frac{\partial u}{\partial t} = A \frac{d}{dt} \left(z^{-B z}\right) = A \frac{d}{dz} \left(z^{-B z}\right) \frac{\partial z}{\partial t} = A \frac{d}{dz} \left(z^{-B z}\right) c$$ 4. Calculons $$\frac{d}{dz} \left(z^{-B z}\right)$$ : $$z^{-B z} = e^{-B z \ln z}$$ Donc, $$\frac{d}{dz} z^{-B z} = \frac{d}{dz} e^{-B z \ln z} = e^{-B z \ln z} \cdot \frac{d}{dz} (-B z \ln z)$$ Calculons $$\frac{d}{dz} (-B z \ln z) = -B (\ln z + 1)$$. Ainsi, $$\frac{d}{dz} z^{-B z} = z^{-B z} (-B (\ln z + 1)) = -B (\ln z + 1) z^{-B z}$$ 5. Donc, $$\frac{\partial u}{\partial t} = A c \left(-B (\ln z + 1) z^{-B z}\right) = -A B c (\ln z + 1) z^{-B z}$$ 6. Calculons la dérivée seconde par rapport à $$t$$ : $$\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = \frac{\partial}{\partial t} \left(-A B c (\ln z + 1) z^{-B z}\right) = -A B c \frac{\partial}{\partial t} \left((\ln z + 1) z^{-B z}\right)$$ 7. Comme $$\frac{\partial}{\partial t} = c \frac{d}{dz}$$, on a : $$\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = -A B c^{2} \frac{d}{dz} \left((\ln z + 1) z^{-B z}\right)$$ 8. Calculons $$\frac{d}{dz} \left((\ln z + 1) z^{-B z}\right)$$ : Utilisons la règle du produit : $$\frac{d}{dz} (f g) = f' g + f g'$$ avec $$f = \ln z + 1$$ et $$g = z^{-B z}$$. - $$f' = \frac{1}{z}$$ - $$g' = -B (\ln z + 1) z^{-B z}$$ (déjà calculé) Donc, $$\frac{d}{dz} ((\ln z + 1) z^{-B z}) = \frac{1}{z} z^{-B z} + (\ln z + 1)(-B (\ln z + 1) z^{-B z})$$ $$= z^{-B z} \left(\frac{1}{z} - B (\ln z + 1)^{2}\right)$$ 9. Ainsi, $$\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = -A B c^{2} z^{-B z} \left(\frac{1}{z} - B (\ln z + 1)^{2}\right) = -A B c^{2} z^{-B z} \frac{1}{z} + A B^{2} c^{2} z^{-B z} (\ln z + 1)^{2}$$ 10. Calculons maintenant $$\frac{\partial u}{\partial x}$$ : $$\frac{\partial u}{\partial x} = A \frac{d}{dx} z^{-B z} = A \frac{d}{dz} z^{-B z} \frac{\partial z}{\partial x} = A \left(-B (\ln z + 1) z^{-B z}\right) (-1) = A B (\ln z + 1) z^{-B z}$$ 11. Puis la dérivée seconde par rapport à $$x$$ : $$\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = \frac{\partial}{\partial x} \left(A B (\ln z + 1) z^{-B z}\right) = A B \frac{\partial}{\partial x} \left((\ln z + 1) z^{-B z}\right)$$ 12. Comme $$\frac{\partial}{\partial x} = - \frac{d}{dz}$$, on a : $$\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = A B (-1) \frac{d}{dz} \left((\ln z + 1) z^{-B z}\right) = -A B z^{-B z} \left(\frac{1}{z} - B (\ln z + 1)^{2}\right)$$ 13. Multiplions par $$c^{2}$$ : $$c^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = -A B c^{2} z^{-B z} \frac{1}{z} + A B^{2} c^{2} z^{-B z} (\ln z + 1)^{2}$$ 14. On remarque que $$\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = c^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$$ Donc, l'expression $$u(x,t) = A (ct - x)^{-B (ct - x)}$$ satisfait bien l'équation d'onde plane. **Réponse finale :** $$\boxed{\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = c^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}}$$ et donc $$u(x,t) = A (ct - x)^{-B (ct - x)}$$ est une solution correcte de l'équation d'onde plane.