1. Montrons que $R$ est une relation d'ordre sur $\mathbb{R}^3$. Une relation d'ordre doit être réflexive, antisymétrique et transitive. 2. L'ordre est-il total sur $\mathbb{R}^3$ ? Un ordre total signifie que pour tout $x,y \in \mathbb{R}^3$, on a soit $xRy$ soit $yRx$. --- Exercice 3 Soit $R$ défini sur $\mathbb{N}$ par: $$xRy \Leftrightarrow \frac{2x+y}{3} \in \mathbb{N}.$$ 1. Déterminons $7R5$, $67R9$, et $47R4$ : - Pour $7R5$ : $$\frac{2\times7+5}{3} = \frac{19}{3} \notin \mathbb{N}$$ donc $7R5$ est faux. - Pour $67R9$ : $$\frac{2\times67+9}{3}=\frac{143}{3} \notin \mathbb{N}$$ donc $67R9$ est faux. - Pour $47R4$ : $$\frac{2\times47+4}{3} = \frac{98}{3} \notin \mathbb{N}$$ donc $47R4$ est faux. 2. Montrons que $R$ est une relation d'équivalence sur $\mathbb{N}$. - Réflexivité : Pour tout $x$, $$\frac{2x+x}{3}=x \in \mathbb{N}$$ donc $xRx$. - Symétrie : Supposons $xRy$, alors $$\frac{2x+y}{3} = k \in \mathbb{N}.$$ On veut montrer $yRx$, c'est-à-dire $$\frac{2y+x}{3} \in \mathbb{N}.$$ En général, la symétrie n'est pas triviale; on examine la condition plus en détail. - Transitivité : Supposons $xRy$ et $yRz$, montrer $xRz$. (Plus de détails sont donnés ci-dessous pour preuve complète). 3. Déterminons la classe d'équivalence de $x \in \mathbb{N}$ sous $R$. La classe est : $$[x] = \{ y \in \mathbb{N} | \frac{2x + y}{3} \in \mathbb{N} \}.$$ --- Exercice 4 Considérons $$f : \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{1}{2} \right\} \to \mathbb{R}, f(x) = \frac{x+1}{2x-1}.$$ 1. Trouvons l'image directe de $f$ sur les intervalles $\left(\frac{1}{2}, +\infty\right)$ et $(-\infty, \frac{1}{2})$. --- Contenu détaillé : **Exercice 1 - Relation d'ordre sur $\mathbb{R}^3$** 1. Énoncé : Montrer que $R$ est une relation d'ordre sur $\mathbb{R}^3$. Une relation d'ordre doit être : - Réflexive : $\forall x, xRx$. - Antisymétrique : $xRy$ et $yRx \Rightarrow x = y$. - Transitive : $xRy$ et $yRz \Rightarrow xRz$. 2. L'ordre est total si pour tout $x,y$, $xRy$ ou $yRx$. **Exercice 3** 1. Calculons les valeurs : - $$7R5 \iff \frac{2\times7 + 5}{3} = \frac{19}{3} \notin \mathbb{N} \Rightarrow 7R5 \text{ faux}.$$ - $$67R9 \iff \frac{134 + 9}{3} = \frac{143}{3} \notin \mathbb{N} \Rightarrow \text{faux}.$$ - $$47R4 \iff \frac{94 + 4}{3} = \frac{98}{3} \notin \mathbb{N} \Rightarrow \text{faux}.$$ 2. Montrons les propriétés d'une relation d'équivalence : - Réflexivité : $xRx$ car $$\frac{2x + x}{3} = x \in \mathbb{N}.$$ - Symétrie : Supposons $xRy$, c'est-à-dire $$\frac{2x + y}{3} = k \in \mathbb{N}.$$ Pour $yRx$, $$\frac{2y + x}{3} = m \in \mathbb{N}?$$ Or, $$3k = 2x + y$$ et $$3m = 2y + x.$$ En combinant: $$3(m + k) = 2y + x + 2x + y = 3(x + y) \Rightarrow m + k = x + y.$$ Donc $m = x + y - k$ qui est entier car $x,y,k$ entiers. Ainsi, si $k$ entier, $m$ entier. Donc symétrie est vérifiée. - Transitivité : Si $xRy$ et $yRz$, alors $$\frac{2x + y}{3} = k_1,\quad \frac{2y + z}{3} = k_2$$ avec $k_1, k_2 \in \mathbb{N}$. Donc, $$2x + y = 3k_1,\quad 2y + z = 3k_2.$$ Calculons $2x + z$ : $$2(2x + y) + (2y + z) = 2 \times 3k_1 + 3k_2 = 6k_1 + 3k_2.$$ Or, $$2(2x + y) + (2y + z) = 4x + 2y + 2y + z = 4x + 4y + z,$$ donc $$2x + z = (4x + 4y + z) - 2(2x + y) = (6k_1 + 3k_2) - 2(3k_1) = 3k_2,$$ ce qui montre que $\frac{2x + z}{3} \in \mathbb{N}$, donc $xRz$. La relation $R$ est une relation d'équivalence. 3. Classe d'équivalence de $x$ : $$[x] = \{ y \in \mathbb{N} \mid \frac{2x + y}{3} \in \mathbb{N} \}.$$ Écrivons $m = \frac{2x + y}{3}$ entier \(\Rightarrow y = 3m - 2x\). Donc $$[x] = \{ y = 3m - 2x : m \in \mathbb{N} \text{ et } y \geq 0 \}.$$ --- **Exercice 4** 1. Étudions $$f(x) = \frac{x + 1}{2x - 1}$$ pour $x \in \left(\frac{1}{2}, +\infty\right)$ et $x \in (-\infty, \frac{1}{2})$. - $f$ est définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1/2\}$. - Calculons les limites : $$\lim_{x \to (1/2)^+} f(x) = \lim_{x \to (1/2)^+} \frac{x + 1}{2x -1} = +\infty,$$ $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x + 1}{2x -1} = \frac{1}{2}.$$ $\quad$ L'image de $f$ sur $\left(\frac{1}{2}, +\infty\right)$ est donc $\left(\frac{1}{2}, +\infty\right)$ ou $\left(-\infty, \frac{1}{2}\right)$, il faut étudier le sens de variation. - Dérivons : $$f'(x) = \frac{(2x -1)\times 1 - (x+1)\times 2}{(2x -1)^2} = \frac{2x -1 - 2x - 2}{(2x -1)^2} = \frac{-3}{(2x -1)^2} < 0.$$ Donc $f$ est strictement décroissante. Alors, - Sur $\left(\frac{1}{2}, +\infty\right)$, $f$ décroît de $+\infty$ vers $1/2$ donc $$f\left(\left(\frac{1}{2}, +\infty\right)\right) = \left(-\infty, \frac{1}{2}\right).$$ - Sur $\left(-\infty, \frac{1}{2}\right)$, $f$ décroît de $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \frac{1}{2}$$ vers $$\lim_{x \to (1/2)^-} f(x) = -\infty,$$ car $f$ est décroissante et le dénominateur change de signe à $1/2$. Donc $$f\left(\left(-\infty, \frac{1}{2}\right)\right) = \left(\frac{1}{2}, +\infty\right).$$