1. Énoncé du problème : Soit la relation $R$ définie sur $\mathbb{N}$ par : $\forall x,y \in \mathbb{N}, xRy \iff \frac{2x + y}{3} \in \mathbb{N}$. On doit : - Calculer si $7R5$, $6R9$, et $4R4$ sont vrais. - Montrer que $R$ est une relation d'équivalence sur $\mathbb{N}$. - Déterminer la classe d'équivalence de l'élément $x \in \mathbb{N}$. 2. Calculs pour $7R5$, $6R9$, $4R4$ : - Pour $7R5$: calculons $\frac{2\times7 + 5}{3} = \frac{14 + 5}{3} = \frac{19}{3}$. $19/3$ n'est pas entier donc $7 \not R 5$. - Pour $6R9$: calculons $\frac{2\times6 + 9}{3} = \frac{12 + 9}{3} = \frac{21}{3} = 7$. Comme $7 \in \mathbb{N}$, $6 R 9$ est vrai. - Pour $4R4$: calculons $\frac{2\times4 + 4}{3} = \frac{8 + 4}{3} = \frac{12}{3} = 4$. $4 \in \mathbb{N}$ donc $4 R 4$ est vrai. 3. Montrer que $R$ est une relation d'équivalence : - Réflexivité : Pour tout $x \in \mathbb{N}$, $\frac{2x + x}{3} = \frac{3x}{3} = x \in \mathbb{N}$, donc $xRx$. - Symétrie : Supposons $xRy$ c'est-à-dire $\frac{2x + y}{3} = k \in \mathbb{N}$. Alors $2x + y = 3k$. Pour $yRx$, vérifier que $\frac{2y + x}{3}$ est entier. Or $2y + x = 3m$ pour un certain $m \in \mathbb{N}$ ? On a l'équation $2x + y = 3k$, isolons $y = 3k - 2x$. Calculons $2y + x = 2(3k - 2x) + x = 6k - 4x + x = 6k - 3x = 3(2k - x)$, c'est multiple de 3, donc $\frac{2y + x}{3} = 2k - x \in \mathbb{Z}$. Comme $k,x \in \mathbb{N}$, $2k-x$ est entier mais peut-il être négatif ? Pour que $2k - x \ge 0$, $2k \ge x$. Or $k = \frac{2x+y}{3} \ge \frac{2x}{3}$, donc $2k \ge \frac{4x}{3} > x$. Donc $2k - x \ge 0$ et est entier donc dans $\mathbb{N}$. Ainsi, $yRx$ est vrai, donc $R$ est symétrique. - Transitivité : Supposons $xRy$ et $yRz$, donc $\frac{2x + y}{3} = k$ entier et $\frac{2y + z}{3} = m$ entier. On veut montrer $xRz$, c'est-à-dire $\frac{2x + z}{3}$ entier. Exprimons $y$ en fonction de $k$: $2x + y = 3k \Rightarrow y = 3k - 2x$. Exprimons $z$ en fonction de $m$, $y$: $2y + z = 3m \Rightarrow z = 3m - 2y$. Substituons $y$ dans $z$: $z = 3m - 2(3k - 2x) = 3m - 6k + 4x = 4x + 3m - 6k$. Calculons $2x + z = 2x + 4x + 3m - 6k = 6x + 3m - 6k = 3(2x + m - 2k)$. Donc $\frac{2x + z}{3} = 2x + m - 2k$ est entier. Comme $x,k,m \in \mathbb{N}$, $\frac{2x + z}{3} \in \mathbb{N}$, donc $xRz$. 4. Déterminer la classe d'équivalence de $x \in \mathbb{N}$ : La classe d'équivalence $[x]$ est l'ensemble des $y \in \mathbb{N}$ tels que $\frac{2x + y}{3} \in \mathbb{N}$. On écrit $2x + y = 3k$ avec $k \in \mathbb{N}$. Donc $y = 3k - 2x$. Comme $y \in \mathbb{N}$, on doit avoir $3k \ge 2x$. L'ensemble des $y$ équivalents à $x$ est donc $$[x] = \{ y \in \mathbb{N} \mid \exists k \in \mathbb{N}, y = 3k - 2x \text{ avec } 3k \ge 2x \}.$$ Cela signifie que $y$ diffère de $-2x$ modulo 3, ce qui caractérise la classe. Réponse finale : - $7 \not R 5$, $6 R 9$, $4 R 4$. - $R$ est une relation d'équivalence (réflexive, symétrique, transitive). - La classe d'équivalence de $x$ est $[x] = \{ y \in \mathbb{N} : y = 3k - 2x, k \in \mathbb{N}, 3k \ge 2x \}$.