1. **Énoncé du problème :** Montrer que $z_A^3 = -4\sqrt{2} + 4i\sqrt{2}$ avec $z_A = \sqrt{2} + i\sqrt{2}$. 2. **Formule utilisée :** Pour élever un nombre complexe à une puissance, on peut utiliser la forme exponentielle ou développer directement. Ici, on développe : $$z_A^3 = (\sqrt{2} + i\sqrt{2})^3$$ 3. **Calcul intermédiaire :** Calculons d'abord $z_A^2$ : $$z_A^2 = (\sqrt{2} + i\sqrt{2})^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \times \sqrt{2} \times i\sqrt{2} + (i\sqrt{2})^2 = 2 + 2i2 + i^2 2 = 2 + 4i + (-1)2 = 2 + 4i - 2 = 4i$$ 4. **Calcul de $z_A^3$ :** $$z_A^3 = z_A^2 \times z_A = 4i \times (\sqrt{2} + i\sqrt{2}) = 4i\sqrt{2} + 4i^2 \sqrt{2} = 4i\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = -4\sqrt{2} + 4i\sqrt{2}$$ 5. **Conclusion :** Nous avons bien montré que $$z_A^3 = -4\sqrt{2} + 4i\sqrt{2}$$ Ceci conclut la démonstration.