1. Vérifier que 283 est un nombre premier. - Un nombre premier est un nombre supérieur à 1 qui n'a pas d'autres diviseurs que 1 et lui-même. - Pour vérifier si 283 est premier, il faut tester la divisibilité par tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à $\sqrt{283}$. - $\sqrt{283} \approx 16.82$, on teste donc les nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. - 283 n'est divisible par aucun de ces nombres : - 2 : 283 est impair. - 3 : somme des chiffres $2+8+3=13$, pas divisible par 3. - 5 : ne se termine ni par 0 ni 5. - 7 : $283/7 \notin \mathbb{Z}$. - 11 : différence (2+3) - 8 = -3, pas divisible par 11. - 13 : $283/13 \notin \mathbb{Z}$. - 17 : $283/17 \notin \mathbb{Z}$. - Donc 283 est premier. 2a. Décomposer $u=425$ et $v=75$ en facteurs premiers. - 425 : - Divisible par 5 : $425/5=85$ - 85 divisible par 5 : $85/5=17$ - 17 est premier. - Donc $425 = 5^2 \times 17$. - 75 : - Divisible par 5 : $75/5=15$ - 15 divisible par 5 : $15/5=3$ - 3 est premier. - Donc $75 = 5^2 \times 3$. 2b. Trouver le PPCM et le PGCD de $u$ et $v$. - PGCD (plus grand commun diviseur) = produit des facteurs premiers communs avec leur plus faible exposant. - $u = 5^2 \times 17$, $v = 5^2 \times 3$ - Facteurs communs : $5^2$ - $PGCD(u,v) = 5^2 = 25$ - PPCM (plus petit commun multiple) = produit de tous les facteurs premiers présents avec le plus grand exposant. - Facteurs dans $u$ et $v$: 5, 3, 17 - Plus grands exposants : $5^2$, $3^1$, $17^1$ - $PPCM(u,v) = 5^2 \times 3 \times 17 = 25 \times 3 \times 17 = 1275$ 2c. Calculer $u \times v$. - $425 \times 75$ - Calcul direct: $425 \times 75 = 31875$ 2d. Chercher deux nombres $m$ et $n$ premiers entre eux tels que $m \times n = u \times v$. - Premier entre eux signifie que $PGCD(m,n) = 1$. - On a $u \times v = 31875 = 5^4 \times 3 \times 17$ car $u=5^2 \times 17$, $v=5^2 \times 3$ donc multiplication donne $5^{2+2} \times 17 \times 3$. - Pour que $m$ et $n$ soient premiers entre eux, ils ne doivent partager aucun facteur premier. - Une façon : séparer les facteurs premiers en deux groupes disjoints. - Choisissons $m=17$ et $n=5^4 \times 3 = 625 \times 3 = 1875$. - Vérifions que $PGCD(17, 1875) = 1$ car 17 ne divise pas 1875. - $m \times n = 17 \times 1875 = 31875$, correct. 2e. Dire si $m$ et $n$ sont pairs ou impairs. - $m=17$ est impair (17 est impair). - $n=1875$ est impair (car pas divisible par 2). - Justification : un nombre est pair s'il est divisible par 2, ici ni $17$ ni $1875$ ne sont divisibles par 2. Réponses finales : - 283 est premier. - $u = 5^2 \times 17$, $v = 5^2 \times 3$. - $PGCD(u,v) = 25$, $PPCM(u,v)=1275$. - $u \times v = 31875$. - $m=17$, $n=1875$ premiers entre eux et $m \times n = 31875$. - $m$ et $n$ sont impairs.