1. Énonçons le problème : Comprendre les nombres complexes et le calcul exponentiel lié. 2. Un nombre complexe s'écrit sous la forme $z = a + bi$ avec $a,b \in \mathbb{R}$ et $i^2 = -1$. 3. La forme exponentielle d'un nombre complexe est exprimée grâce à la formule d'Euler : $$z = r(\cos \theta + i \sin \theta) = r e^{i \theta}$$ ici $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ est le module et $\theta = \arg(z) = \arctan(\frac{b}{a})$ l'argument. 4. Le calcul exponentiel des complexes consiste à manipuler $e^{i \theta}$, où cette expression représente un point sur le cercle unité du plan complexe. 5. Pour multiplier deux nombres complexes en forme exponentielle : $$z_1 = r_1 e^{i \theta_1}, z_2 = r_2 e^{i \theta_2} \implies z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i (\theta_1 + \theta_2)}$$ 6. Pour élever un nombre complexe à une puissance entière $n$ : $$z^n = (r e^{i \theta})^n = r^n e^{i n \theta}$$ 7. Ce calcul permet de simplifier l'exponentielle du calcul trigonométrique des complexes. 8. En résumé, connaître la forme exponentielle du nombre complexe facilite les opérations de multiplication, division et puissance. Réponse finale : Un nombre complexe $z=a+bi$ peut s'écrire sous la forme exponentielle $$z = r e^{i \theta}$$ où les opérations exponentielles suivent les règles $$z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i (\theta_1 + \theta_2)}$$ et $$z^n = r^n e^{i n \theta}$$.