1. Énonçons le problème : vérifier que le nombre d'or $\Phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ satisfait les propriétés suivantes : - $\Phi + 1 = \Phi^2$ - $\Phi - 1 = \frac{1}{\Phi}$ 2. Calculons $\Phi + 1$ : $$\Phi + 1 = \frac{1+\sqrt{5}}{2} + 1 = \frac{1+\sqrt{5}}{2} + \frac{2}{2} = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$$ 3. Calculons $\Phi^2$ : $$\Phi^2 = \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2 = \frac{(1+\sqrt{5})^2}{4} = \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$$ 4. On constate que $\Phi + 1 = \Phi^2 = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$, donc la première propriété est vérifiée. 5. Calculons $\Phi - 1$ : $$\Phi - 1 = \frac{1+\sqrt{5}}{2} - 1 = \frac{1+\sqrt{5}}{2} - \frac{2}{2} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$$ 6. Calculons l'inverse de $\Phi$ : $$\frac{1}{\Phi} = \frac{1}{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} = \frac{2}{1+\sqrt{5}}$$ 7. Rationalisons le dénominateur : $$\frac{2}{1+\sqrt{5}} \times \frac{1-\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}} = \frac{2(1-\sqrt{5})}{(1)^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{2(1-\sqrt{5})}{1 - 5} = \frac{2(1-\sqrt{5})}{-4} = -\frac{1-\sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$$ 8. On voit que $\Phi - 1 = \frac{1}{\Phi} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$, donc la deuxième propriété est vérifiée. 9. Pour l'encadrement décimal de $\Phi$ à $10^{-2}$ près, calculons une valeur approchée : $$\sqrt{5} \approx 2.236$$ $$\Phi = \frac{1 + 2.236}{2} = \frac{3.236}{2} = 1.618$$ 10. À $10^{-2}$ près, $\Phi$ est donc encadré par : $$1.61 < \Phi < 1.62$$