1. **Énoncé du problème :** Écrire les propositions avec quantificateurs et connecteurs logiques. 2. **Proposition (P) :** "Pour tout entier naturel $n$, il existe un entier naturel $m$ tel que $n \cdot m = 12$." Formule : $$\forall n \in \mathbb{N}, \exists m \in \mathbb{N} : n \times m = 12$$ 3. **Proposition (Q) :** "L'équation $n^2 + 4m + 4 = 0$ admet une solution unique dans $\mathbb{R}$." Formule : $$\exists ! (n,m) \in \mathbb{R}^2 : n^2 + 4m + 4 = 0$$ 4. **Négation de (r) :** $r : \forall n \in \mathbb{R}, n + 1 \geq n > 1$ Négation : $$\neg r : \exists n \in \mathbb{R} : \neg (n + 1 \geq n > 1)$$ Ce qui revient à : $$\exists n \in \mathbb{R} : (n + 1 < n) \text{ ou } (n \leq 1)$$ 5. **Résoudre dans $\mathbb{R}$ :** $$|m \cdot 2l - 6 \cdot 2n|$$ Sans équation donnée, on simplifie l'expression : $$|2ml - 12n|$$ 6. **Montrer que pour $m,y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}$ :** $$m + y \to \frac{1}{m} + \frac{1}{y}$$ On interprète la limite ou la transformation : $$\frac{1}{m} + \frac{1}{y} = \frac{y + m}{my}$$ Donc la somme $m + y$ est reliée à $\frac{1}{m} + \frac{1}{y}$ par la fonction $f(m,y) = \frac{m+y}{my}$. 7. **Raisonnement par récurrence pour :** $$1^2 + 2^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \quad \forall n \in \mathbb{N}^*$$ - Initialisation ($n=1$) : $$1^2 = \frac{1 \times 2 \times 3}{6} = 1$$ - Hypothèse de récurrence : Supposons vrai pour $n=k$ : $$\sum_{i=1}^k i^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$$ - Montrer pour $n=k+1$ : $$\sum_{i=1}^{k+1} i^2 = \sum_{i=1}^k i^2 + (k+1)^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2$$ Factoriser et simplifier : $$= \frac{(k+1)(k(2k+1) + 6(k+1))}{6} = \frac{(k+1)(k(2k+1) + 6k + 6)}{6}$$ $$= \frac{(k+1)(2k^2 + k + 6k + 6)}{6} = \frac{(k+1)(2k^2 + 7k + 6)}{6}$$ Factoriser le trinôme : $$2k^2 + 7k + 6 = (k+2)(2k+3)$$ Donc : $$\sum_{i=1}^{k+1} i^2 = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$$ Ce qui est la formule pour $n=k+1$. 8. **Montrer que $3$ divise $4n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ :** Cette affirmation est fausse car $4n$ n'est pas toujours divisible par 3. Par exemple, pour $n=1$, $4 \times 1 = 4$ qui n'est pas divisible par 3. Donc la proposition est incorrecte.