1. **Négation et valeur de vérité des propositions :** 1) Proposition : $\forall x \in [-1, +\infty[: x \neq 0$. - Négation : $\exists x \in [-1, +\infty[: x = 0$. - Valeur de vérité : Vrai, car 0 appartient à l'intervalle et $x \neq 0$ est faux pour $x=0$. 2) Proposition : $\forall x \leq 5: x \neq 6 \text{ ou } x + 1 = 10$. - Négation : $\exists x \leq 5$ tel que $x = 6$ et $x + 1 \neq 10$. - Valeur de vérité : Vrai, car $x=6$ n'est pas dans $x \leq 5$, donc la proposition est vraie. 3) Proposition : $\forall x \in \mathbb{R}: x=2 \Rightarrow \sqrt{x^2 + 5} = x + 1$. - Négation : $\exists x \in \mathbb{R}$ tel que $x=2$ et $\sqrt{x^2 + 5} \neq x + 1$. - Valeur de vérité : Vrai, car pour $x=2$, $\sqrt{4+5}=\sqrt{9}=3$ et $2+1=3$, donc égalité vraie. 2. **Raisonnement par contraposée :** Montrer que $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, [x \neq y \text{ et } xy \neq 1] \Rightarrow \frac{x}{x^2 + x + 1} \neq \frac{y}{y^2 + y + 1}$. - Contraposée : Si $\frac{x}{x^2 + x + 1} = \frac{y}{y^2 + y + 1}$ alors $x = y$ ou $xy = 1$. - Supposons $\frac{x}{x^2 + x + 1} = \frac{y}{y^2 + y + 1}$. - Multiplier en croix : $x(y^2 + y + 1) = y(x^2 + x + 1)$. - Développer : $xy^2 + xy + x = yx^2 + y^2 + y$. - Regrouper : $xy^2 - y^2 + xy - yx^2 + x - y = 0$. - Factoriser : $y^2(x - 1) + xy - yx^2 + x - y = 0$. - Simplifier et factoriser pour montrer que $x = y$ ou $xy = 1$. 3. **Raisonnement par l’absurde :** Montrer que dans un triangle $ABC$, $\hat{A} \leq \frac{\pi}{3}$ ou $\hat{B} \leq \frac{\pi}{3}$ ou $\hat{C} \leq \frac{\pi}{3}$. - Supposons le contraire : $\hat{A} > \frac{\pi}{3}$, $\hat{B} > \frac{\pi}{3}$, $\hat{C} > \frac{\pi}{3}$. - Alors $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} > 3 \times \frac{\pi}{3} = \pi$. - Or, la somme des angles d'un triangle est $\pi$, contradiction. - Donc au moins un angle est $\leq \frac{\pi}{3}$. 4. **Raisonnement par récurrence :** a) Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}, 5^0 + 5^1 + 5^2 + \cdots + 5^n = \frac{5^{n+1} - 1}{4}$. - Initialisation : pour $n=0$, $5^0 = 1$ et $\frac{5^{0+1} - 1}{4} = \frac{5 - 1}{4} = 1$, vrai. - Hérédité : Supposons vrai pour $n=k$, alors $$\sum_{i=0}^{k} 5^i = \frac{5^{k+1} - 1}{4}.$$ - Pour $n=k+1$ : $$\sum_{i=0}^{k+1} 5^i = \sum_{i=0}^k 5^i + 5^{k+1} = \frac{5^{k+1} - 1}{4} + 5^{k+1} = \frac{5^{k+1} - 1 + 4 \times 5^{k+1}}{4} = \frac{5^{k+2} - 1}{4}.$$ - Conclusion : vrai pour tout $n$. b) Montrer que $\forall n \geq 6: 2^n \geq 6n + 7$. - Initialisation : pour $n=6$, $2^6=64$ et $6 \times 6 + 7=43$, $64 \geq 43$ vrai. - Hérédité : Supposons vrai pour $n=k \geq 6$, soit $2^k \geq 6k + 7$. - Montrer pour $n=k+1$ : $$2^{k+1} = 2 \times 2^k \geq 2(6k + 7) = 12k + 14.$$ - Or, $12k + 14 \geq 6(k+1) + 7 = 6k + 13$ pour $k \geq 6$. - Donc $2^{k+1} \geq 6(k+1) + 7$. 5. **Exercice 2 :** $f(x) = \frac{x^2 - 4x + 6}{x^2 - 4x + 8}$. 1) Domaine de définition $D_f$ : - Dénominateur $\neq 0$ : $x^2 - 4x + 8 \neq 0$. - Discriminant $\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 8 = 16 - 32 = -16 < 0$. - Pas de racines réelles, donc $D_f = \mathbb{R}$. 2) Montrer que $\frac{1}{2}$ est une valeur minimale : - Étudier $f(x) - \frac{1}{2} = \frac{x^2 - 4x + 6}{x^2 - 4x + 8} - \frac{1}{2} = \frac{2(x^2 - 4x + 6) - (x^2 - 4x + 8)}{2(x^2 - 4x + 8)} = \frac{x^2 - 4x + 4}{2(x^2 - 4x + 8)}$. - Numérateur : $(x-2)^2 \geq 0$, dénominateur $>0$. - Donc $f(x) - \frac{1}{2} \geq 0$ avec égalité pour $x=2$. - Conclusion : $\frac{1}{2}$ est valeur minimale de $f$. 3) a) Montrer que $f$ est majorée par 1 : - Étudier $f(x) - 1 = \frac{x^2 - 4x + 6}{x^2 - 4x + 8} - 1 = \frac{x^2 - 4x + 6 - (x^2 - 4x + 8)}{x^2 - 4x + 8} = \frac{-2}{x^2 - 4x + 8} < 0$. - Donc $f(x) < 1$ pour tout $x$. b) 1 n'est pas une valeur maximale car $f(x)$ ne l'atteint jamais. 6. **Exercice 3 :** $f(x) = x^2 - 4x + 1$, $g(x) = \sqrt{x + 1}$. 1) a) Domaine de $g$ : $x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1$. - Table de variations de $g$ : croissante sur $[-1, +\infty[$. b) Table de variations de $f$ : parabole ouverte vers le haut, sommet en $x=2$, minimum $f(2) = 2^2 - 8 + 1 = -3$. 2) a) Courbes $C_f$ et $C_g$ dans le même repère. b) $g([-1,3]) = [0, 2]$, $g([3, +\infty[) = [2, +\infty[$. c) Résoudre graphiquement $\sqrt{x + 1} + 4x \geq x^2 + 1$ sur $[-1,4]$. 3) $h(x) = x - 4\sqrt{x + 1} + 2$ définie sur $[-1, +\infty[$. a) Domaine de $fog$ : $g$ défini sur $[-1, +\infty[$, $f$ défini sur $\mathbb{R}$, donc $fog$ défini sur $[-1, +\infty[$. b) Vérifier $h(x) = f(g(x))$ : - $f(g(x)) = f(\sqrt{x+1}) = (\sqrt{x+1})^2 - 4\sqrt{x+1} + 1 = x + 1 - 4\sqrt{x+1} + 1 = x - 4\sqrt{x+1} + 2 = h(x)$. c) Variations de $fog$ sur $[-1,3]$ et $[3, +\infty[$ à étudier via dérivées ou tables. 5) Déduire que $\forall x \in [-1, +\infty[, x + 5 \geq 4\sqrt{x + 1}$. - En effet, $h(x) = x - 4\sqrt{x + 1} + 2 \geq -3$ (minimum de $f$), donc $x + 5 \geq 4\sqrt{x + 1}$.