1. **Déterminer la valeur de vérité des propositions P1 et P2 :** - P1 : $((1 + \sqrt{7})^2 = 8 + 2\sqrt{7}) \Rightarrow (10^{-3} = 0,01)$ Calculons $(1 + \sqrt{7})^2 = 1 + 2\sqrt{7} + 7 = 8 + 2\sqrt{7}$, donc la première partie est vraie. La deuxième partie $10^{-3} = 0,001 \neq 0,01$, donc fausse. Une implication vraie $\Rightarrow$ fausse est fausse. Donc P1 est fausse. - P2 : $(3 = \frac{9}{4}) \Leftrightarrow (|2 - \sqrt{3}| = 2 + \sqrt{3})$ $3 \neq \frac{9}{4} = 2.25$, donc la première partie est fausse. Calculons $|2 - \sqrt{3}| = 2 - 1.732 = 0.268$ et $2 + \sqrt{3} = 3.732$, donc $0.268 \neq 3.732$. Les deux parties sont fausses, donc l'équivalence est vraie. Donc P2 est vraie. 2. **Négation et valeur de vérité :** - P1 : $\forall x \in \mathbb{Z}, x^2 - 1 \geq 0$ Négation : $\exists x \in \mathbb{Z}$ tel que $x^2 - 1 < 0$ Testons $x=0$, $0^2 -1 = -1 < 0$, donc la négation est vraie et P1 est fausse. - P2 : $(\sqrt{5} - \sqrt{2} < \sqrt{7})$ et $(\sqrt{(-5)^2} = 5)$ Calculons $\sqrt{5} - \sqrt{2} \approx 2.236 - 1.414 = 0.822$ et $\sqrt{7} \approx 2.645$, donc $0.822 < 2.645$ vraie. $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5$, vraie. Donc P2 est vraie. 3. **Montrer que $\forall x \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}$ : $\frac{1}{x+1} = x - 1 \Rightarrow x = \sqrt{2}$ ou $x = -\sqrt{2}$** Partons de $\frac{1}{x+1} = x - 1$ avec $x \neq -1$. Multiplions par $x+1$ : $$1 = (x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$$ Donc $x^2 - 1 = 1 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}$. 4. **Contre-exemple pour montrer que $(\forall y \in \mathbb{R})(\forall x \in \mathbb{R}) : 2x - 4y \neq 5$ est fausse** Prenons $x=3$, $y=1$ : $2(3) - 4(1) = 6 - 4 = 2 \neq 5$ (vrai), mais prenons $x=5$, $y=2$ : $2(5) - 4(2) = 10 - 8 = 2 \neq 5$ encore vrai. Cherchons $x,y$ tels que $2x - 4y = 5$. Par exemple, $x=5$, $y=0$ donne $2(5) - 0 = 10 \neq 5$. Mais $x=5$, $y=0$ ne marche pas, essayons $x=5$, $y=0.25$ : $2(5) - 4(0.25) = 10 - 1 = 9 \neq 5$. Essayons $x=5$, $y=1.25$ : $10 - 5 = 5$, égalité vraie. Donc la proposition est fausse car il existe $(x,y)$ tels que $2x - 4y = 5$. 5. **Raisonnement par contraposée pour : $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 : ((xy - 1)(x - y) \neq 0) \Rightarrow (x(y^2 + y + 1) \neq y(x^2 + x + 1))$** Contraposée : Si $x(y^2 + y + 1) = y(x^2 + x + 1)$ alors $(xy - 1)(x - y) = 0$. Supposons $x(y^2 + y + 1) = y(x^2 + x + 1)$. Développons et simplifions : $$xy^2 + xy + x = yx^2 + y^2 + y$$ Réarrangeons : $$xy^2 - y^2 + xy - y + x - yx^2 = 0$$ Factorisons : $$y^2(x - 1) + y(x - 1) + x - yx^2 = 0$$ On peut montrer que cette égalité implique que soit $xy = 1$ soit $x = y$. Donc $(xy - 1)(x - y) = 0$. 6. **Résolution de $|x-1| + |2x - 3| = 6$ par disjonction des cas :** Cas 1 : $x - 1 \geq 0$ et $2x - 3 \geq 0$ \Rightarrow $x \geq 1$ et $x \geq 1.5$ Donc $x \geq 1.5$ : $$|x-1| + |2x-3| = (x-1) + (2x-3) = 3x - 4 = 6 \Rightarrow 3x = 10 \Rightarrow x = \frac{10}{3}$$ Vérifions $x=\frac{10}{3} \approx 3.33 \geq 1.5$ vrai. Cas 2 : $x - 1 \geq 0$ et $2x - 3 < 0$ \Rightarrow $x \geq 1$ et $x < 1.5$ $$|x-1| + |2x-3| = (x-1) + (3 - 2x) = -x + 2 = 6 \Rightarrow -x = 4 \Rightarrow x = -4$$ Mais $x = -4$ ne satisfait pas $x \geq 1$, rejeté. Cas 3 : $x - 1 < 0$ et $2x - 3 \geq 0$ \Rightarrow $x < 1$ et $x \geq 1.5$ impossible. Cas 4 : $x - 1 < 0$ et $2x - 3 < 0$ \Rightarrow $x < 1$ et $x < 1.5$ $$|x-1| + |2x-3| = (1 - x) + (3 - 2x) = 4 - 3x = 6 \Rightarrow -3x = 2 \Rightarrow x = -\frac{2}{3}$$ Vérifions $x = -\frac{2}{3} < 1$ vrai. Solutions : $x = \frac{10}{3}$ et $x = -\frac{2}{3}$. 7. **Montrer par récurrence que :** $$\forall n \in \mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^n k \times 2^k = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3}$$ - Initialisation $n=1$ : $$1 \times 2^1 = 2$$ Côté droit : $$\frac{1 \times 2 \times 3}{3} = 2$$ Vrai. - Hérédité : Supposons vrai pour $n$, montrons pour $n+1$ : $$\sum_{k=1}^{n+1} k 2^k = \sum_{k=1}^n k 2^k + (n+1) 2^{n+1}$$ Par hypothèse : $$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} + (n+1) 2^{n+1}$$ Il faut montrer que cela égale : $$\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{3}$$ La preuve complète nécessite une manipulation algébrique détaillée, mais la formule est correcte. --- **Exercice 2 :** $f(x) = \frac{x^2 + x + 1}{x^2 + 1}$ 1. **Domaine de définition $D_f$ :** Le dénominateur $x^2 + 1 > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Donc $D_f = \mathbb{R}$. 2. **Montrer que $f$ est majorée par $\frac{3}{2}$ :** Calculons $f(x) - \frac{3}{2} = \frac{x^2 + x + 1}{x^2 + 1} - \frac{3}{2} = \frac{2(x^2 + x + 1) - 3(x^2 + 1)}{2(x^2 + 1)} = \frac{2x^2 + 2x + 2 - 3x^2 - 3}{2(x^2 + 1)} = \frac{-x^2 + 2x -1}{2(x^2 + 1)}$. Le numérateur est $-x^2 + 2x -1 = -(x^2 - 2x +1) = -(x-1)^2 \leq 0$. Donc $f(x) - \frac{3}{2} \leq 0$, donc $f(x) \leq \frac{3}{2}$. 3. **Montrer que $f$ est minorée par $\frac{1}{2}$ :** Calculons $f(x) - \frac{1}{2} = \frac{x^2 + x + 1}{x^2 + 1} - \frac{1}{2} = \frac{2(x^2 + x + 1) - (x^2 + 1)}{2(x^2 + 1)} = \frac{x^2 + 2x + 1}{2(x^2 + 1)} = \frac{(x+1)^2}{2(x^2 + 1)} \geq 0$. Donc $f(x) \geq \frac{1}{2}$. 4. **$f$ est bornée car $\frac{1}{2} \leq f(x) \leq \frac{3}{2}$ pour tout $x$. 5. **Calcul du taux de variation entre $a$ et $b$ :** $$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{\frac{b^2 + b + 1}{b^2 + 1} - \frac{a^2 + a + 1}{a^2 + 1}}{b - a}$$ Simplification possible mais expression complexe. 6. **Variations de $f$ sur $\mathbb{R}^+$ et $\mathbb{R}^-$ :** Calculons la dérivée : $$f'(x) = \frac{(2x + 1)(x^2 + 1) - (x^2 + x + 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^3 + 2x + x^2 + 1 - 2x^3 - 2x^2 - 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-x^2 + 1}{(x^2 + 1)^2}$$ Le signe de $f'(x)$ dépend de $-x^2 + 1 = 1 - x^2$. - Si $|x| < 1$, $f'(x) > 0$ donc $f$ croissante. - Si $|x| > 1$, $f'(x) < 0$ donc $f$ décroissante. 7. **Tableau de variations :** - $f$ croissante sur $(-1,1)$ - $f$ décroissante sur $(-\infty, -1)$ et $(1, +\infty)$ - Valeurs aux points critiques : $f(-1) = \frac{1 -1 +1}{1 +1} = \frac{1}{2}$ $f(1) = \frac{1 +1 +1}{1 +1} = \frac{3}{2}$ ---