1) Problème : Montrer que la proposition (P) : (\exists x \in \mathbb{R}) ; (x^2 + 3x - 4 = 0) est vraie. 1. La proposition (P) affirme qu'il existe un réel $x$ tel que $x^2 + 3x - 4 = 0$. 2. Résolvons l'équation quadratique : $$x^2 + 3x - 4 = 0$$ 3. Calcul du discriminant : $$\Delta = 3^2 - 4 \times 1 \times (-4) = 9 + 16 = 25$$ 4. Puisque $\Delta > 0$, il y a deux solutions réelles : $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2}$$ 5. Les solutions sont : $$x_1 = \frac{-3 + 5}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-3 - 5}{2} = -4$$ 6. Donc, il existe bien des réels $x$ qui satisfont l'équation, donc (P) est vraie. b) Négation de (Q) : (\forall x \in \mathbb{R}) ; (x^2 = x \Rightarrow x = 0) 1. La négation de "pour tout $x$, $P(x)$" est "il existe un $x$ tel que non $P(x)$". 2. Donc, la négation de (Q) est : $$\exists x \in \mathbb{R} \text{ tel que } (x^2 = x) \wedge (x \neq 0)$$ c) Montrer que (Q) est fausse 1. Trouvons un $x$ réel tel que $x^2 = x$ mais $x \neq 0$. 2. Résolvons $x^2 = x$ : $$x^2 - x = 0 \Rightarrow x(x - 1) = 0$$ 3. Les solutions sont $x = 0$ ou $x = 1$. 4. Pour $x = 1$, on a $x^2 = x$ mais $x \neq 0$. 5. Donc, (Q) est fausse car il existe un $x$ (ici $1$) qui ne satisfait pas la conclusion. 2) a) Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $n(n+1)(n+2)$ est multiple de 3. 1. Considérons trois entiers consécutifs : $n$, $n+1$, $n+2$. 2. Parmi trois entiers consécutifs, il y a forcément un multiple de 3. 3. Donc, le produit $n(n+1)(n+2)$ est divisible par 3. b) Déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $n^3 - n$ est multiple de 3. 1. Factorisons : $$n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)$$ 2. Ce produit est celui de trois entiers consécutifs. 3. Par la propriété précédente, $n(n-1)(n+1)$ est multiple de 3. 4. Donc, $n^3 - n$ est multiple de 3. 3) Montrer par l'absurde que pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $$\sqrt{x^2 + 1} - x > 0$$ 1. Supposons le contraire : $$\sqrt{x^2 + 1} - x \leq 0$$ 2. Alors : $$\sqrt{x^2 + 1} \leq x$$ 3. Comme $\sqrt{x^2 + 1} \geq 0$, cela implique $x \geq 0$. 4. Élevons au carré : $$x^2 + 1 \leq x^2$$ 5. Ce qui donne : $$1 \leq 0$$, une contradiction. 6. Donc, l'hypothèse est fausse et $$\sqrt{x^2 + 1} - x > 0$$ pour tout $x$. 4) Montrer que pour tout $x,y \in \mathbb{R}^+$ : $$(x \neq 9 \text{ ou } y \neq 9) \Rightarrow \sqrt{x} + \sqrt{y} \neq \frac{x + y + 18}{6}$$ 1. Supposons que $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \frac{x + y + 18}{6}$. 2. Si $x = 9$ et $y = 9$, alors : $$\sqrt{9} + \sqrt{9} = 3 + 3 = 6$$ 3. Et $$\frac{9 + 9 + 18}{6} = \frac{36}{6} = 6$$ 4. Donc égalité vraie uniquement si $x = y = 9$. 5. Par contraposée, si $x \neq 9$ ou $y \neq 9$, alors l'égalité ne tient pas. 5) a) Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : $$1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ 1. C'est la formule classique de la somme des carrés des $n$ premiers entiers. 2. On peut démontrer par récurrence. b) En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $3$ divise $n(n+1)(2n+1)$. 1. Multiplions la somme par 6 : $$6 \times (1^2 + 2^2 + \cdots + n^2) = n(n+1)(2n+1)$$ 2. Comme la somme est un entier, $n(n+1)(2n+1)$ est divisible par 6. 3. En particulier, il est divisible par 3. Exercice 2 et 3 nécessitent plus d'espace, veuillez demander si vous souhaitez leur résolution.