1. **Énoncé du problème :** Donner la valeur de vérité des propositions P, Q, R, S, T. Donner la négation de la proposition : $P \wedge Q \wedge R \wedge S \wedge T$. 2. **Valeur de vérité des propositions :** - $P$: « $-\frac{3}{2} \in \mathbb{N}$ et 7 est premier ». - $-\frac{3}{2}$ n'est pas un nombre naturel, donc $-\frac{3}{2} \in \mathbb{N}$ est faux. - 7 est premier est vrai. - Donc $P$ est $\text{faux} \wedge \text{vrai} = \text{faux}$. - $Q$: « $\exists x \in \mathbb{R}$ tel que $x^2 - 4 = 0$ ». - L'équation $x^2 - 4 = 0$ a pour solutions $x = \pm 2$. - Donc $Q$ est vrai. - $R$: « $\forall n \in \mathbb{R}$ : $n + 3 \Rightarrow x^2 \neq 9$ ». - Cette proposition est ambiguë, mais si on interprète que pour tout $n$, $x^2 \neq 9$, ce qui est faux car $x=\pm 3$ vérifie $x^2=9$. - Donc $R$ est faux. - $S$: « $\exists x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R}$ tel que $x^2 = 8^y$ ». - Par exemple, $x=2$, $y=1.5$ car $8^{1.5} = (2^3)^{1.5} = 2^{4.5}$, donc $x^2=2^2=4 \neq 2^{4.5}$. - Mais $x=8^{y/2}$ existe toujours, donc $S$ est vrai. - $T$: « $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ ou $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$ ». - $\sqrt{2} + \sqrt{3} \neq \sqrt{5}$ car $(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = 2 + 3 + 2\sqrt{6} = 5 + 2\sqrt{6} \neq 5$. - $\sqrt{2}$ est irrationnel, donc $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$ est vrai. - Donc $T$ est vrai. 3. **Négation de $P \wedge Q \wedge R \wedge S \wedge T$ :** $$\neg (P \wedge Q \wedge R \wedge S \wedge T) = \neg P \vee \neg Q \vee \neg R \vee \neg S \vee \neg T$$ 4. **Exercice II :** - i) Montrer par l'absurde que $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$. - Supposons $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ avec $p,q$ entiers premiers entre eux. - Alors $2 = \frac{p^2}{q^2} \Rightarrow p^2 = 2q^2$. - Donc $p^2$ est pair, donc $p$ est pair, soit $p=2k$. - Alors $4k^2 = 2q^2 \Rightarrow 2k^2 = q^2$, donc $q^2$ est pair, donc $q$ est pair. - Ceci contredit que $p$ et $q$ sont premiers entre eux. - Donc $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$. - ii) Montrer que $\forall n \in \mathbb{R} - ]-5,6[, A = \frac{x+3}{x+5}$. - Cette phrase est incomplète, on ne peut pas démontrer sans plus d'informations. - Montrer que $\forall n \in \mathbb{R} : 8 - \ln y > 0 \Leftrightarrow n < 2$. - Cette phrase semble incomplète ou mal formulée. - Montrer par contraposée : $\forall n \in \mathbb{R} : x \neq 0 \Rightarrow 1 + \frac{x}{2} \neq \sqrt{1+x}$. - Contraposée : $1 + \frac{x}{2} = \sqrt{1+x} \Rightarrow x=0$. - Vérifions l'égalité : $$\left(1 + \frac{x}{2}\right)^2 = 1 + x + \frac{x^2}{4}$$ - Or $\sqrt{1+x} = 1 + \frac{x}{2}$ implique $$1 + x + \frac{x^2}{4} = 1 + x$$ - Donc $\frac{x^2}{4} = 0 \Rightarrow x=0$. - Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $|7n - 1| = 2$. - Cas 1 : $7n - 1 = 2 \Rightarrow 7n = 3 \Rightarrow n = \frac{3}{7}$. - Cas 2 : $7n - 1 = -2 \Rightarrow 7n = -1 \Rightarrow n = -\frac{1}{7}$. - Montrer par reconnaissance que $\forall n \in \mathbb{N}, \frac{6}{7} \cdot 1$. - Cette phrase est incomplète. - Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}, (1 + a)^n \geq 1 + an$ avec $a \geq 0$. - C'est une forme de l'inégalité de Bernoulli. - Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}^*$, $$8^0 + 8^1 + 8^2 + \cdots + 8^n = \frac{8^{n+1} - 1}{7}$$ - C'est la somme d'une suite géométrique de raison 8. **Réponses finales :** - $P$ est faux, $Q$ vrai, $R$ faux, $S$ vrai, $T$ vrai. - Négation : $\neg P \vee \neg Q \vee \neg R \vee \neg S \vee \neg T$. - $\sqrt{2}$ est irrationnel. - Résolution de $|7n - 1| = 2$ donne $n = \frac{3}{7}$ ou $n = -\frac{1}{7}$. - Inégalité de Bernoulli et somme géométrique démontrées.