**Exercice 1** 1.a Donner la négation de la proposition R : (∀x ∈ ℝ) [ x² = 25 ⇒ x = 5 ]. R dit : Pour tout réel x, si $x^2=25$ alors $x=5$. La négation de $P ightarrow Q$ est $P \land \neg Q$. Donc la négation de R est : $\exists x \in \mathbb{R}$ tel que $x^2=25$ et $x \neq 5$. 1.b En déduire que la proposition R est fausse. Car $x=-5$ vérifie $x^2=25$ mais $x \neq 5$, donc R est fausse. 2. Négation de la proposition $Q_1 : (\forall x \in \mathbb{R})\, -1 \leq \sin x \leq 1$. La négation est : $\exists x \in \mathbb{R}$ tel que $\sin x < -1$ ou $\sin x >1$. Or, comme $\sin x$ varie entre -1 et 1, cette négation est fausse donc $Q_1$ est vraie. 3. Véracité de $R_2 : (\forall x \in \mathbb{R}) : 3x^2 - 7x + 4 \leq 0$. Étudions le signe de la fonction $h(x) = 3x^2 - 7x +4$. Calcul du discriminant : $$\Delta = (-7)^2 - 4 \times 3 \times 4 = 49 - 48 = 1 > 0.$$ Racines : $$x_1 = \frac{7 - 1}{6} = 1, \quad x_2 = \frac{7 + 1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}.$$ Le coefficient de $x^2$ est positif, $h(x)$ est une parabole concave vers le haut. Donc $h(x) \leq 0$ sur l'intervalle $[1, \frac{4}{3}]$, mais pas pour tout $x \in \mathbb{R}$. Conclusion : $R_2$ est fausse. **Exercice 2** 1. Montrer que $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2$, $(y \neq x \text{ et } x+y \neq 1) \Rightarrow \sqrt{x^2 - x + 1} \neq \sqrt{y^2 - y +1}$. Supposons que $\sqrt{x^2 - x + 1} = \sqrt{y^2 - y +1}$. Alors, $x^2 - x +1 = y^2 - y + 1$, soit: $$x^2 - y^2 = x - y.$$ Factorisons : $$(x-y)(x+y) = x - y.$$ Si $x \neq y$, alors on peut diviser des deux côtés par $(x - y)$ : $$x + y = 1.$$ Donc, la supposition implique $(x \neq y) \Rightarrow (x + y = 1)$. Par contraposée, si $y \neq x$ et $x + y \neq 1$ alors $\sqrt{x^2 - x +1} \neq \sqrt{y^2 - y +1}$. 2. Montrer que $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$. Supposons le contraire : $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ avec $p,q \in \mathbb{Z}$ premiers entre eux et $q \neq 0$. Alors, $2 = \frac{p^2}{q^2} \Rightarrow p^2 = 2 q^2$. Donc $p^2$ est pair implique $p$ est pair, soit $p = 2r$ pour un certain entier $r$. Alors: $$(2r)^2 = 2 q^2 \Rightarrow 4r^2 = 2 q^2 \Rightarrow 2 r^2 = q^2.$$ Donc $q^2$ est pair, donc $q$ est pair. Mais alors $p$ et $q$ sont tous deux pairs ce qui contredit la condition qu'ils soient premiers entre eux. Donc la supposition est fausse. $\sqrt{2}$ est irrationnel. 3. Montrer que pour $n \in \mathbb{N}$, $n>1$, $n^3 - n$ est divisible par 6. Factorisons: $$n^3 - n = n(n^2 -1) = n(n-1)(n+1).$$ C'est le produit de trois entiers consécutifs. Par définition, parmi trois entiers consécutifs, il y a un multiple de 3 et au moins un multiple de 2. Donc le produit est divisible par $2 \times 3 = 6$. 4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $$|x - 2| - |x + 2| = |x|.$$ Étudions selon les intervalles qui découpent les valeurs critiques $-2,0,2$: - Si $x < -2$ : $|x-2| = 2 - x$, $|x+2| = -(x+2) = -x - 2$, $|x| = -x$. L'équation devient : $$(2 - x) - (-x - 2) = -x \Rightarrow 2 - x + x + 2 = -x \Rightarrow 4 = -x \Rightarrow x = -4.$$ Ce $x$ vérifie $x < -2$, solution valable. - Si $-2 \leq x < 0$ : $|x-2| = 2 - x$, $|x+2| = x + 2$, $|x| = -x$. Équation : $$(2 - x) - (x + 2) = -x \Rightarrow 2 - x - x - 2 = -x \Rightarrow -2x = -x \Rightarrow -2x + x = 0 \Rightarrow -x =0 \Rightarrow x=0.$$ Mais $x=0$ n'est pas dans l'intervalle $]-2,0[$, on le teste plus bas. - Si $0 \leq x < 2$ : $|x-2| = 2 - x$, $|x+2| = x + 2$, $|x| = x$. Équation : $$(2 - x) - (x + 2) = x \Rightarrow 2 - x - x - 2 = x \Rightarrow -2x = x \Rightarrow -3x =0 \Rightarrow x=0.$$ $x=0$ appartient à cet intervalle, donc $x=0$ est solution. - Si $x \geq 2$ : $|x-2| = x - 2$, $|x+2| = x + 2$, $|x| = x$. Équation : $$(x - 2) - (x + 2) = x \Rightarrow x - 2 - x - 2 = x \Rightarrow -4 = x.$$ Mais $x = -4$ n'est pas dans l'intervalle $[2, + \infty [$, exclue. Solutions dans $\mathbb{R}$ : $$x = -4 \quad \text{et} \quad x = 0.$$ **Exercice 3** Soit $f(x) = x^2 - x$ et $g(x) = \sqrt{x+2}$. 1. Déterminer $D_g$ (domaine de définition de $g$) puis vérifier que $f(2) = g(2)$. Le domaine de $g$ est $x+2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2$. Donc $D_g = [-2, +\infty)$. Calcul: $$f(2) = 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2,$$ $$g(2) = \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2.$$ Donc $f(2) = g(2) = 2$. 2.a Montrer que $f$ est minorée par $-1/4$ sur $D_f=\mathbb{R}$. $f(x) = x^2 - x = x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}.$ Le carré est toujours $\geq 0$, donc: $$f(x) \geq -\frac{1}{4}.$$ 2.b Calculer $f(1/2)$ puis conclure. Calcul: $$f\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}.$$ Donc $f$ atteint son minimum $-1/4$ en $x=1/2$. 3. Dresser les tableaux de variations de $f$ et $g$. - Pour $f$, la parabole s'ouvre vers le haut, le minimum est en $x=1/2$ avec $f(1/2) = -1/4$. La fonction décroît sur $]-\infty, 1/2]$ puis croît sur $[1/2, +\infty[$. - Pour $g$, fonction racine définie pour $x \geq -2$, croissante sur son domaine, $g$ est continue et strictement croissante. 4. Construire les courbes $C_f$ et $C_g$ dans le même repère. - $C_f$ est une parabole avec minimum $-1/4$ en $x = 1/2$. - $C_g$ est la racine carrée décalée à gauche de 2 unités, définie à partir de $x = -2$. 5. Déterminer graphiquement $f(]-\infty, 1/2])$. Le minimum de $f$ vaut $-1/4$, la fonction décroît de $+\infty$ à $-1/4$ sur cet intervalle. Donc $f(]-\infty, 1/2]) = ]-\infty, -1/4]$.