1. **Énoncé du problème :** Déterminer la valeur de vérité des propositions P, Q, R, S et trouver leur négation. - P : $x \in \mathbb{R} : x^2 - 3x + 5 > 0$ - Q : $\exists x \in \mathbb{R} : x^2 + 1 = 0$ - R : $\forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R} : x + y = 3$ - S : $2$ est impair $\Rightarrow -3 \in \mathbb{Z}$ **Rappel :** La négation d'une proposition $P$ est notée $\neg P$ et inverse la valeur de vérité. --- 2. **Résolution de l'équation :** $2x + |x - 3| = 1$ **Méthode :** Étudier selon le signe de $x-3$. --- 3. **Démonstration par contraposée :** Montrer que $\forall (x,y) \in [3,+\infty[^2 : x \neq y \Rightarrow x^2 - 4x \neq y^2 - 4y$ **Rappel :** La contraposée de $P \Rightarrow Q$ est $\neg Q \Rightarrow \neg P$. --- 4. **Démonstration par récurrence :** Montrer que $\forall n \in \mathbb{N} : 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n+1) = (n+1)^2$ --- --- **Détails et solutions :** 1. - P : $x^2 - 3x + 5 = (x - \frac{3}{2})^2 + \frac{11}{4} > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ car un carré est toujours positif et $\frac{11}{4} > 0$. Donc $P$ est vraie. - Négation $\neg P$ : $\exists x \in \mathbb{R} : x^2 - 3x + 5 \leq 0$. - Q : $x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -1$ n'a pas de solution réelle. Donc $Q$ est fausse. - Négation $\neg Q$ : $\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \neq 0$. - R : Pour tout $x$, on peut choisir $y = 3 - x$ qui est réel. Donc $R$ est vraie. - Négation $\neg R$ : $\exists x \in \mathbb{R}$ tel que $\forall y \in \mathbb{R}, x + y \neq 3$. - S : $2$ est pair, donc l'implication $2$ est impair $\Rightarrow -3 \in \mathbb{Z}$ est vraie car une implication avec une prémisse fausse est vraie. - Négation $\neg S$ : $2$ est impair et $-3 \notin \mathbb{Z}$ (faux car $-3 \in \mathbb{Z}$). 2. Résolution de $2x + |x - 3| = 1$ : - Cas 1 : $x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3$ $$2x + (x - 3) = 1 \Rightarrow 3x - 3 = 1 \Rightarrow 3x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{3}$$ Mais $\frac{4}{3} < 3$, donc pas dans ce cas. - Cas 2 : $x - 3 < 0 \Rightarrow x < 3$ $$2x - (x - 3) = 1 \Rightarrow 2x - x + 3 = 1 \Rightarrow x + 3 = 1 \Rightarrow x = -2$$ Ici $-2 < 3$, solution valide. **Solution finale :** $x = -2$ 3. Montrons la contraposée : $$x^2 - 4x = y^2 - 4y \Rightarrow (x - y)(x + y - 4) = 0$$ Si $x \neq y$, alors $x + y - 4 = 0$. Mais pour $x,y \geq 3$, $x + y - 4 \geq 3 + 3 - 4 = 2 > 0$, donc $x + y - 4 \neq 0$. Donc $x^2 - 4x = y^2 - 4y$ implique $x = y$. Par contraposée, $x \neq y \Rightarrow x^2 - 4x \neq y^2 - 4y$. 4. Par récurrence : - Initialisation $n=0$ : $1 = (0+1)^2 = 1$ vrai. - Hypothèse : Supposons vrai pour $n$ : $1 + 3 + 5 + \cdots + (2n+1) = (n+1)^2$. - Montrons pour $n+1$ : $$1 + 3 + 5 + \cdots + (2n+1) + (2(n+1)+1) = (n+1)^2 + 2n + 3$$ $$= (n+1)^2 + 2n + 3 = n^2 + 2n + 1 + 2n + 3 = n^2 + 4n + 4 = (n+2)^2$$ Donc vrai pour $n+1$. Par récurrence, la formule est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$. **Réponses finales :** - 1. $P$ vrai, $\neg P : \exists x : x^2 - 3x + 5 \leq 0$ $Q$ faux, $\neg Q : \forall x, x^2 + 1 \neq 0$ $R$ vrai, $\neg R : \exists x, \forall y, x + y \neq 3$ $S$ vrai, $\neg S$ faux - 2. $x = -2$ - 3. $\forall (x,y) \in [3,+\infty[^2, x \neq y \Rightarrow x^2 - 4x \neq y^2 - 4y$ - 4. $\sum_{k=0}^n (2k+1) = (n+1)^2$