1. Calculer les limites données : - $$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{10 + x + 3x}}{x^{2} + 4x + 3} = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{10 + 4x}}{(x + 1)(x + 3)}$$. Substituons $x=1$ : $$\frac{\sqrt{10 + 4 \times 1}}{(1+1)(1+3)} = \frac{\sqrt{14}}{2 \times 4} = \frac{\sqrt{14}}{8}$$. - $$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^{2} - x - x} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^{2} - 2x}$$. Pour $x \to +\infty$, on factorise $x^{2}$ : $$\sqrt{x^{2}(1 - \frac{2}{x})} = |x| \sqrt{1 - \frac{2}{x}} = x \sqrt{1 - \frac{2}{x}}$$ (car $x > 0$). Donc, $$\lim_{x \to +\infty} x \sqrt{1 - \frac{2}{x}} = +\infty \times 1 = +\infty$$. - $$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^{2} + 1 + x + 1} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^{2} + x + 2}$$. De même, factorisons: $$\sqrt{x^{2}(1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}})} = x \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}}} \to +\infty \times 1 = +\infty$$. - $$\lim_{x \to 5} \frac{\sqrt{x + 22} - 3}{x^{2} - 6x + 5}$$. Calculons les valeurs en $x=5$: $$\sqrt{5 + 22} - 3 = \sqrt{27} - 3 = 3\sqrt{3} - 3 \neq 0$$, mais au dénominateur: $$25 - 30 + 5 = 0$$, donc forme indéterminée. On rationalise en multipliant numérateur et dénominateur par $$\sqrt{x+22} + 3$$ : $$\frac{(\sqrt{x+22} - 3)(\sqrt{x+22} + 3)}{(x^{2} - 6x + 5)(\sqrt{x+22} + 3)} = \frac{x+22 - 9}{(x-1)(x-5)(\sqrt{x+22} + 3)} = \frac{x+13}{(x-1)(x-5)(\sqrt{x+22} + 3)}$$. En $x=5$, on simplifie la factorisation: Le dénominateur a un facteur $(x-5)$ annulant la valeur en 5, on simplifie par $(x-5)$ pour trouver la limite. Le moyen le plus direct est d'appliquer la règle de l'Hôpital ou de factoriser. 2. Classer les nombres $$\sqrt{2}, \sqrt[3]{3}, \sqrt[4]{5}, \sqrt[6]{7}, \sqrt[12]{14}$$ en ordre croissant : Comparer leurs puissances élevées à 12 pour homogénéiser: - $$(\sqrt{2})^{12} = 2^{6} = 64$$ - $$(\sqrt[3]{3})^{12} = 3^{4} = 81$$ - $$(\sqrt[4]{5})^{12} = 5^{3} = 125$$ - $$(\sqrt[6]{7})^{12} = 7^{2} = 49$$ - $$(\sqrt[12]{14})^{12} = 14$$ Ordre des puissances: 14 < 49 < 64 < 81 < 125 Donc ordre croissant initial: $$\sqrt[12]{14} < \sqrt[6]{7} < \sqrt{2} < \sqrt[3]{3} < \sqrt[4]{5}$$ 3. Fonction $f$ définie par: $$f(x) = \frac{ \sqrt[3]{x + 8} - 2}{x} \quad x \neq 0$$ $$f(0) = \frac{1}{12}$$ a) Continuité en $x_0=0$: Calcul du $$\lim_{x \to 0} f(x)$$: Approchons le numérateur par développement de $$\sqrt[3]{x+8}$$ autour de 8: $$\sqrt[3]{8 + x} = 2 + \frac{x}{12} + o(x)$$ Donc $$\sqrt[3]{x + 8} - 2 = \frac{x}{12} + o(x)$$ Alors $$f(x) = \frac{\frac{x}{12} + o(x)}{x} = \frac{1}{12} + o(1)$$ donc $$\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{12} = f(0)$$ Donc $f$ est continue en 0. b) Continuité sur $\mathbb{R} \setminus \{ -8 \}$ car la fonction cubique racine est continue partout et au dénominateur $x$ s'annule seulement en 0 (déjà traité), donc $f$ est continue sur $\mathbb{R} \setminus \{-8\}$ car ce point n'apparaît pas comme problème. 4. Pour la fonction $$f(x) = x^{3} - 4x^{2} + 4x -1$$ 1) Calcul des dérivées et tableau de variation: $$f'(x) = 3x^{2} - 8x + 4 = 3(x^{2} - \frac{8}{3}x + \frac{4}{3})$$. Déterminant: $$\Delta = \left(-\frac{8}{3}\right)^{2} - 4 \times 1 \times \frac{4}{3} = \frac{64}{9} - \frac{16}{3} = \frac{64}{9} - \frac{48}{9} = \frac{16}{9} > 0$$. Racines: $$x_{1} = \frac{8/3 - 4/3}{2} = \frac{4/3}{2} = \frac{2}{3}$$, $$x_{2} = \frac{8/3 + 4/3}{2} = \frac{12/3}{2} = 2$$. Étudier signes autour de ces points pour dresser tableau de variation. 2) Étude racine unique de $f(x) = 0$ sur $]2, 3[$ signé: Calculons $f(2) = 8 - 16 + 8 -1 = -1$ et $f(3) = 27 -36 + 12 - 1= 2 > 0$ Par continuité et signe différent, il y a une racine unique $\alpha \in ]2,3[$. 3) Méthode de dichotomie pour encadrer $\alpha$ avec précision $1.25 \times 10^{-1}$ : Appliquer la méthode pour affiner $\alpha$ entre deux valeurs distantes de cette amplitude. 5. Équation $x^{5} + x^{3} - 1 = 0$ 1) Montrer qu'elle a une solution unique $\alpha$ dans $]0,1[$: La fonction est strictement croissante et continue sur $\mathbb{R}$, par valeurs: $$f(0) = -1 <0$$, $$f(1) = 1 + 1 -1 = 1 > 0$$ Donc racine unique par le théorème des valeurs intermédiaires. 2a) Fonction définie par morceau est continue au point $x=\alpha$: Calcul des limites par gauche et droite égales à $\alpha^{5} = 1 - \alpha^{3}$, donc la fonction est continue en $\alpha$. b) Par continuité et définition sur $ \mathbb{R}$, $f$ est continue partout. 6. Fonction $f(x) = x + 2\sqrt{x+3} - 1$ 1) Domaine: $D_f = [-3, +\infty[$. Calcul des limites aux bornes: $$\lim_{x \to -3^{+}} f(x) = -3 + 2 \times 0 -1 = -4$$ $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$$ 2a) Dérivation: $$f'(x) = 1 + \frac{2}{2\sqrt{x+3}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{x+3}} = \frac{\sqrt{x+3} + 1}{\sqrt{x+3}} > 0$$ pour $x > -3$. b) $f'(x) > 0$ donc $f$ est strictement croissante sur $]-3, +\infty[$. 3d) Tableau de variation: croissante de $-4$ à $+\infty$ sur $[-3, +\infty[$. 4) Restriction $g$ de $f$ sur $I = [0, +\infty[$ : On a $g$ strictement croissante injective donc admet bijection inverse $g^{-1}$ définie sur intervalle $J = [g(0), +\infty[$. 5a) Calculons $g(0) = 0 + 2\sqrt{3} -1 = 2\sqrt{3} -1$ On montre que $$g^{-1}(2\sqrt{3} -1) = 0$$. b) Pour tout $x \in J$, on résout $y = x + 2\sqrt{x+3} -1$ pour $x$ en fonction de $y$ par substitution. Cette analyse détaille la résolution complète des problèmes posés.