1. Énoncé du problème : on cherche les positions exactes des trois lampadaires A, B, C qui sont les racines de l'équation $z^3-2iz^2+4(1+i)z+16+16i=0$, on cherche les images $A',B',C'$ par la similitude $S$ d'écriture $z'=\tfrac{1+i}{2}z+2+i$, on donne $D$ d'affixe $z_D=a+ib$ avec $a,b$ la raison et le premier terme de la suite géométrique $V_n=U_n-1$ issue de $U_{n+1}=2U_n-1$ et on étudie la fonction $f(x)=(2-x)e^{2x}$ pour placer la caméra. 2. Recherche d'une racine évidente et factorisation. 2.1 On teste $z=-2$ dans le polynôme. $$(-2)^3-2i(-2)^2+4(1+i)(-2)+16+16i=-8-8i-8-8i+16+16i=0$$ 2.2 Donc $z+2$ est un facteur et on effectue la division pour obtenir le polynôme quotient. $$z^3-2iz^2+4(1+i)z+16+16i=(z+2)igl(z^2+(-2-2i)z+(8+8i)\bigr)$$ 3. Résolution du polynôme quadratique obtenu. 3.1 Équation quadratique : $$z^2+(-2-2i)z+(8+8i)=0$$ 3.2 Discriminant $$\Delta =(-2-2i)^2-4(8+8i)=8i-32-32i=-32-24i$$ 3.3 Calcul de la racine carrée de $\Delta$ en posant $\sqrt{\Delta}=u+iv$ et en résolvant le système qui donne $\sqrt{\Delta}=\pm(2-6i)$. 3.4 Solutions par la formule : $$z=\frac{2+2i\pm(2-6i)}{2}$$ 3.5 Donc les deux racines sont $$z=2-2i\quad\text{et}\quad z=4i$$ 3.6 Récapitulatif des trois lampadaires : $$A(-2,0),\;B(0,4),\;C(2,-2)$$ 4. Images par la similitude $S$ donnée par $z'=\tfrac{1+i}{2}z+2+i$. 4.1 Pour $A=-2$ : $$A'=\tfrac{1+i}{2}(-2)+2+i=1$$ 4.2 Pour $B=4i$ : $$B'=\tfrac{1+i}{2}\cdot4i+2+i=3i$$ 4.3 Pour $C=2-2i$ : $$C'=\tfrac{1+i}{2}(2-2i)+2+i=4+i$$ 4.4 Coordonnées du podium $A'B'C'$ : $$A'(1,0),\;B'(0,3),\;C'(4,1)$$ 5. Calcul de $D$ à partir de la suite donnée. 5.1 On pose $V_n=U_n-1$ avec $U_{n+1}=2U_n-1$ et $U_1=4$. 5.2 Alors $V_{n+1}=U_{n+1}-1=2U_n-2=2(U_n-1)=2V_n$, donc $(V_n)$ est géométrique de raison $a=2$. 5.3 Premier terme $V_1=U_1-1=3$, donc $b=3$ et l'affixe demandée est $$z_D=a+ib=2+3i$$ 6. Étude de la fonction $f(x)=(2-x)e^{2x}$ et position de la caméra. 6.1 Dérivée : $$f'(x)=\bigl(2-x\bigr)2e^{2x}+(-1)e^{2x}=e^{2x}(4-2x-1)=e^{2x}(3-2x)$$ 6.2 Résolution $f'(x)=0$ donne $x=\tfrac{3}{2}$ comme unique extremum critique. 6.3 Seconde dérivée : $$f''(x)=4e^{2x}(1-x)$$ et donc $f''(3/2)=-2e^{3}<0$, ce qui montre un maximum en $x=\tfrac{3}{2}$. 6.4 Valeur maximale : $$f\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)=\bigl(2-\tfrac{3}{2}\bigr)e^{3}=\tfrac{1}{2}e^{3}$$ 6.5 Position exacte de la caméra : $$\Bigl(\tfrac{3}{2}\,,\;\tfrac{1}{2}e^{3}\Bigr)$$ 7. Résumé pour la construction dans le repère orthonormé. 7.1 Lampadaires : $A(-2,0),\;B(0,4),\;C(2,-2)$. 7.2 Podium (images) : $A'(1,0),\;B'(0,3),\;C'(4,1),\;D(2,3)$. 7.3 Courbe $C$ : tracée de $y=(2-x)e^{2x}$ et caméra en $\bigl(\tfrac{3}{2},\tfrac{1}{2}e^{3}\bigr)$. 8. Exercice 2 (QCM) — réponses et courtes justifications. 8.1 Question 1 : limite en $+\infty$ de $2x-3-\sqrt{4x^2+x-2}$. On multiplie par la conjugée et on obtient la limite $-\tfrac{13}{4}$, donc réponse d). 8.2 Question 2 : ensemble des $z=x+iy$ tels que $|(1+i)z-2i|=2$. Calcul explicite mène à $(x-1)^2+(y-1)^2=2$, centre $(1,1)$ rayon $\sqrt{2}$, donc réponse b). 8.3 Question 3 : suite $u_0=1$, $u_{n+1}=\sqrt{2}+u_n^2$. On note $u_1>u_0$ et pour $u_n\ge1$ on a $u_{n+1}-u_n\ge\sqrt{2}>0$, donc la suite est croissante, réponse b). 8.4 Question 4 : dérivée de $f(x)=\dfrac{\sqrt{x^2-2x+3}}{x-1}$ sur $\mathbb R\setminus\{1\}$. En calculant on trouve $$f'(x)=-\dfrac{2}{(x-1)^2\sqrt{x^2-2x+3}}$$, ce qui ne figure pas parmi les propositions, donc réponse d) aucune bonne réponse. 8.5 Question 5 : transformation $z'=(1+i)z-1$. C'est une similitude directe (homothétie+rotation puis translation), donc réponse d). 9. Conclusion et consignes de construction graphique. 9.1 Tracer les points $A,B,C$ puis leurs images $A',B',C'$ et $D$. 9.2 Tracer la courbe $y=(2-x)e^{2x}$ et placer le point caméra $\bigl(\tfrac{3}{2},\tfrac{1}{2}e^{3}\bigr)$. 9.3 Points et valeurs sont donnés de manière exacte pour permettre une construction précise.